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Aufgabe:

Z = ln \( \sqrt{1+j} \)


Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist, die Wurzel erst zu ignorieren und erst dann zu ziehen, wenn ich den Logarithmus berechnet habe.

Komme aber nicht auf die richtige Lösung. Danke für Hilfe...

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ln(e^2) = 2 * ln(e) = 2.

Kannst du so was auch im Komplexen tun?

Also: Ist ln(√(1+j)) = 1/2 * ln(1+j) erlaubt ?

Tipp: 1+j in die Exponentialform überführen

Habe in die Exponentialform überführt und möchte dann wenn ich das richtig verstanden habe den Ausdruck so umschreiben dass die Wurzel als Faktor davorsteht. Wie wird aus der Wurzel aber 1/2 als Faktor?

1 Antwort

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Aloha :)

$$1+i=\sqrt2\left(\frac{1}{\underbrace{\sqrt2}}_{=\cos\frac{\pi}{4}}+i\,\underbrace{\frac{1}{\sqrt2}}_{=\sin\frac{\pi}{4}}\right)=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\,e^{i\,\pi/4}$$$$\ln\left(\sqrt{1+i}\right)=\ln\left(\,(1+i)^{1/2}\,\right)=\frac{1}{2}\ln(1+i)=\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt2\,e^{i\,\pi/4}\right)$$$$=\frac{1}{2}\ln\sqrt2+\frac{1}{2}\ln\left(e^{i\,\pi/4}\right)=\frac{1}{4}\,\ln2+\frac{1}{2}\,i\frac{\pi}{4}=\frac{\ln2}{4}+i\,\frac{\pi}{8}$$

EDIT:

Laut Musterlösung für die Aufgabe gibt es wohl noch eine zweite Lösung. Die kann nur daher kommen, dass man auch die negative Wurzel zulässt und das Minuszeichen in der Form \(e^{i\pi}=-1\) in das Argument der Exponentialfunktion schiebt:

$$\sqrt{1+i}=\left(\sqrt2\,e^{i\pi/4}\right)^{1/2}=\pm2^{1/4}e^{i\,\pi/8}=\left\{\begin{array}{c}2^{1/4}\,e^{i\,\pi/8}\\2^{1/4}\,e^{i\pi}\,e^{i\pi/8}\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{c}2^{1/4}\,e^{i\,\pi/8}\\2^{1/4}\,e^{i9\pi/8}\end{array}\right.$$Das führt auf die weiter Lösung:$$\frac{\ln2}{4}+i\,\frac{9\pi}{8}$$

Avatar von 152 k 🚀

Besten Dank erstmal für die Antwort.Laut Lösung gibt es noch ein zweites Ergebnis welche sich nur im imaginär Teil unterscheidet. Haben Sie eine Idee wie man sowas erkennt und wie man auf die zweite Lösung kommt? Eventuell mit dem k-Faktor ?

Man hätte wohl nicht vorschnell den Exponenten 1/2 aus dem Logarithmus ziehen sollen.

\(\left(\sqrt{1+i}\right)\) hat die beiden möglichen Formen \( \sqrt[4]{2}(cos\frac{\pi}{8} +i\cdot sin\frac{\pi}{8})\)  und  \( \sqrt[4]{2}(cos\frac{9\pi}{8} +i\cdot sin\frac{9\pi}{8})\) .

Aber dann passt das Vorzeichen nicht: \(\sin\frac{9\pi}{8}<0\). Ahh, du meinst vermutlich die negative Lösung der Wurzel...

Abakus, die Wurzel einer komplexen Zahl ist eindeutig definiert. Es gibt nur eine mögliche Form.

Da steht doch Hauptwert -> das ist eine eindeutig definierte Wurzel.

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