Aloha :)
$$1+i=\sqrt2\left(\frac{1}{\underbrace{\sqrt2}}_{=\cos\frac{\pi}{4}}+i\,\underbrace{\frac{1}{\sqrt2}}_{=\sin\frac{\pi}{4}}\right)=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\,e^{i\,\pi/4}$$$$\ln\left(\sqrt{1+i}\right)=\ln\left(\,(1+i)^{1/2}\,\right)=\frac{1}{2}\ln(1+i)=\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt2\,e^{i\,\pi/4}\right)$$$$=\frac{1}{2}\ln\sqrt2+\frac{1}{2}\ln\left(e^{i\,\pi/4}\right)=\frac{1}{4}\,\ln2+\frac{1}{2}\,i\frac{\pi}{4}=\frac{\ln2}{4}+i\,\frac{\pi}{8}$$
EDIT:
Laut Musterlösung für die Aufgabe gibt es wohl noch eine zweite Lösung. Die kann nur daher kommen, dass man auch die negative Wurzel zulässt und das Minuszeichen in der Form \(e^{i\pi}=-1\) in das Argument der Exponentialfunktion schiebt:
$$\sqrt{1+i}=\left(\sqrt2\,e^{i\pi/4}\right)^{1/2}=\pm2^{1/4}e^{i\,\pi/8}=\left\{\begin{array}{c}2^{1/4}\,e^{i\,\pi/8}\\2^{1/4}\,e^{i\pi}\,e^{i\pi/8}\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{c}2^{1/4}\,e^{i\,\pi/8}\\2^{1/4}\,e^{i9\pi/8}\end{array}\right.$$Das führt auf die weiter Lösung:$$\frac{\ln2}{4}+i\,\frac{9\pi}{8}$$
