weglänge berechnen Rechenweg

Question

wie lautet hier der Ansatz ? Bzw. wie geht man hier vor ? :)

Der stetig differenzierbare Weg \( \alpha:[0,6 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) sei gegeben durch
$$ \alpha(t)=\left(\begin{array}{c} {e^{2 t} \cos \left(\frac{3}{2} t\right)} \\ {e^{2 t} \sin \left(\frac{3}{2} t\right)} \\ {e^{2 t}} \end{array}\right) $$
Berechnen Sie die Weglänge von \( \alpha . \) 

Answer 1

Hi,
die Weglänge berechnet sich aus $$  \int_0^{6 \pi} \| \dot \alpha(t) \|_2\ dt $$
Es gilt $$ \dot \alpha(t) = \frac{e^{2t}}{2} \begin{pmatrix} 4\cos\left( \frac{3t}{2}\right)-3\sin\left( \frac{3t}{2}\right)\\3\cos\left( \frac{3t}{2}\right)+4\sin\left( \frac{3t}{2}\right)\\4 \end{pmatrix} $$
Daraus folgt $$ \| \dot \alpha(t) \|_2 = \frac{e^{2t}}{2}\sqrt{41} $$ und damit gilt
$$ \int_0^{6 \pi} \| \dot \alpha(t) \|_2\ dt = \frac{\sqrt{41}}{4}\left[ e^{12 \pi} - 1  \right] $$

Comments

Eine Frage zum letzte Schritt dem Integral hätte ich, kommt die 4 unter dem Bruchstrich dadurch zustande, dass das ganze in der zwei Norm berechnet wird und somit die 2 quadriert wird? Denn ich habe als Integral √41/2 (e^12π-1) heraus.

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Hi,

die Stammfunktion von \( e^{2t} \) ist \( \frac{1}{2}e^{2t} \) und daher kommt die \( 4 \) im Nenner.

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Ah ok, dann ist alles klar, danke.