Aufgabe:
Voraussetzung:
Sei f:[0, ∞)→ℝ stetig und gelte f(0)=0,
Sei f auf (0,∞) diffbar und die Ableitung f‘ monoton wachsend
Sei g:(0,∞)→ℝ mit g(x)=f(x)/x
Behauptung:
g ist monoton wachsend
Problem/Ansatz:
Ich habe leider keinen richtigen Ansatz, bzw. haben mich meine Ideen nicht weitergebracht:
Zuerst wollte ich g(x) Ableiten. Wäre die Ableitung ≥ 0, wäre die Aussage bewiesen.
Bei der Grenzwertbildung kam ich nicht weiter, ebenso wenig bei der Verwendung der Quotientenregel, da ich die Werte der Funktion an einer beliebigen Stelle x≠0 nicht kenne.
Dann wollte ich den MWS für ein beliebiges b mit 0<b<∞ verwenden (wobei ich nicht weiß, ob man das so einfach machen darf).
Daraus erhielt ich dann durch Umformung der Gleichung x•g’(ξ) = f‘(ξ), was mich aber auch nicht wirklich weiter gebracht hat.
Wäre das x nicht da, so wäre f(x)=g(x)+c und die Aussage bewiesen.
Es kann natürlich auch sein, dass ich mich einfach verrechnet habe, aber ich wollte erst einmal wissen, ob meine Ansätze überhaupt funktionieren. Deswegen schreibe ich hier nur die Ansätze und nicht zusätzlich die ganzen Rechnungen.
