Zeigen Sie, dass g monoton wachsend für alle reellen x ist.

Question

Aufgabe: Gegeben ist die Funktion g mit g (x) = e^2x - 2, x ∈ ℝ.

a) Zeigen Sie, dass g monoton wachsend für alle x ∈ ℝ ist.
b) Bestimmen Sie die Steigung im Schnittpunkt mit der y-Achse.

Problem/Ansatz:

Verstehe diese Aufgabe nicht, bitte erklären und rechnen.

Answer 1

Wenn eine Funktion monoton wachsend ist, muss ihre Ableitung an jeder Stelle ≥0 sein.

Die y-Achse ist dort, wo x=0 gilt.

Berechne also f'(0).

Comments

g´(x) = 2e^(2x)  --> ⱯxER größer >=0

streng monoton steigend ist bei > 0

Die Steigung im Schnittpunkt beträgt 2

Answer 2

a) Zeigen Sie, dass g monoton wachsend für alle x EIR ist.

f(x) = e^(2·x) - 2
f'(x) = 2·e^(2·x)

Da die e-Funktion immer Funktionswerte größer als Null liefert sind die Funktionswerte der Ableitung immer positiv. Damit ist die Funktion f streng monoton wachsend.

b) Bestimmen Sie die Steigung im Schnittpunkt mit der y-Achse.

f'(0) = 2·e^(2·0) = 2

Skizze

~plot~ e^(2x)-2;2x-1 ~plot~

Comments

Ginge auch als Beweis:

a) Für alle x gilt: x1<x2 -> f(x1)< f(x2)

f(x) ist bijektiv.

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a) Für alle x gilt: x1< x2 -> f(x1) < f(x2)

Ja. Es langt das oben zu beweisen. Es langt aber sicher nicht hinzuschreiben das f(x) bijektiv ist.

f(x) = -x ist auch bijektiv aber daraus folgt nicht das f(x) streng monoton steigend ist.

Da ohnehin die Steigung an der Stelle x = 0 zu bestimmen ist, hat man in der Regel die Ableitung , weshalb der Beweis mit der Ableitung hier auch nahe liegt.

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Von strenger Monotonie steht nirgends was in der Aufgabe. Und Bijektivität wird im Abitur eher nicht behandelt.

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Von strenger Monotonie steht nirgends was in der Aufgabe.

Muss ja auch nicht. Trotzdem kann man nachweisen dass die Funktion streng monoton steigend ist und damit natürlich auch monoton wachsend.

Und Bijektivität wird im Abitur eher nicht behandelt.

Von Abitur steht nirgends was in der Aufgabe.