Fläche des Dreiecks berechnen Vektoren

Question

Die     
Ich soll die Fläche eines Gleichseitigen Dreieck berechnen. Ich darf aber nicht das Kreuzprodult benutzen. Mit den Kreuzprodukt und nach den Lösungen meiner Lehrerin bekommt man für die Fläche 4,5 FE raus! 
Ich rechne seit einer Weile und bekomme nicht diese Lösung raus
Das Dreieck hat die Basisseite AC 
Hab davon den Mittelpunkt und dann die Länge zum Bunkt B (Höhe des Dreiecks), dann Multipliziere ich es mit der Länge des Vektors AB (Grundseite) und teile es anschließen durch 1/2 
Es kommt nie 4,5 raus immer nur Quatsch!

Comments

Moment. Das Dreieck ist gleichschenklig und nicht gleichseitig

Answer 1

Hi,

die Mühe mit dem Mittelpunkt M musst du dir nicht extra machen. Du kannst auch einfach die Längen der Seiten AB und BC miteinander multiplizieren und durch 2 teilen.

Komme allerdings auf \( \frac{9}{\sqrt(2)} \).

Kann das sonst noch jemand bestätigen?

Bei deinem Vorgehen musst du außerdem nicht noch durch 2 teilen, wenn du die Längen der Strecken MB und AB miteinander multiplizierst. Du hast dann schon die Fläche des gesuchten Dreiecks. Ist dir klar warum?

Dein Mittelpunkt der Strecke ist nicht richtig.

$$ M_{AC}= 0,5 \cdot (\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} )=\begin{pmatrix} 1 \\ 3,5 \\ -2,5 \end{pmatrix}$$

Liebe Grüße, Bruce

Comments

Hi Bruce!

Ich komme auf A=4,5. Werde aber deine Methode nochmal nachrechnen

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Hi, Frontier!

Stimmt, hatte die falsche Seite ausgerechnet. Aber das Verfahren klappt!:)
Dankeschön!

Anmerken möchte ich noch, dass die Aufgabensteller wahrscheinlich auch auf dieses Verfahren hinaus wollte, da man in der b) überprüfen sollte, ob das Dreieck rechtwinklig ist (was es ist). Und deshalb darf man auch einfach die beiden Seiten miteinander multiplizieren und durch 2 teilen für den Flächeninhalt.

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Hi,

Mir ist leider noch nicht klar wieso ich die Fläche am Ende nicht mehr mit 1/2 teilen muss.

Die Formel des Dreiecks geht doch auch 1/2*g*h

Hab doch die Grundseite (AB)

Und die Höche (MB)

Das mal und durch 2 oder nicht?

Muss ich dann beim Volumen auch nicht mal 1/6 nehmen?

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Ist das Volumen von 27 FE richtig?

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Hi,

ja, die von die genannte Formel ist richtig und lässt sich auch auf dieses Dreieck anwenden:

https://www.matheretter.de/rechner/geozeichner?draw=dreieck(0%7C0%203%7C0%203%7C3)%23+punkt(0%7C0)%0Atext(0.2%7C-0.2%20%22A%22)%0Apunkt(3%7C0%20%22B%22)%0Apunkt(3%7C3%20%22C%22)%0Apunkt(1.5%7C1.5%20%22M%22)%0Atext(1.5%7C-0.2%20%22g%22)%0Atext(3.2%7C1.5%20%22h%22)&scale=5&coord=0

Betrachten wir nun mal dein Dreieck (farbig):

https://www.matheretter.de/rechner/geozeichner?draw=dreieck(0%7C0%203%7C0%203%7C3)%20%23+dreieck(0%7C0%203%7C0%201.5%7C1.5)%0Apunkt(0%7C0)%0Atext(0.2%7C-0.2%20%22A%22)%0Apunkt(3%7C0%20%22B%22)%0Apunkt(3%7C3%20%22C%22)%0Apunkt(1.5%7C1.5%20%22M%22)%0Astrecke(1.5%7C1.5%203%7C0)%0Atext(0.5%7C0.9%20%22g%22)%0Atext(2.2%7C1.0%20%22h%22)&scale=5&coord=0

Der Flächeninhalt der von dir berechnet wurde ist nicht der gesuchten. Es ist genau die Hälfte von dem gesuchten. Deswegen meinte ich, dass du das durch 2 weglassen kannst.

Siehst du es?

Um das Volumen kümmere ich mich heute Abend.

(Das mit dem Einbetten der Bilder hat nicht funktioniert. Wäre schön, wenn ein Admin das vielleicht noch ändern könnte.)

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Also das Volumen hast du richtig berechnet!:)

Answer 2

Alternativ kannst du die Formel

A=1/2*√(a²*b²-(a*b)²)

verwenden. Wobei a  und b je zwei Seitenvektoren des Dreiecks sind.

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Damit komme ich auf A=4,5