f(x) = - x^3 + 9·x + a ; x > 0 ; a > 0
f'(x) = 9 - 3·x^2
f''(x) = - 6·x
F(x) = - 1/4·x^4 + 9/2·x^2 + a·x
a) Monotonie f'(x)
Streng monoton steigend f'(x) ≥ 0
9 - 3·x^2 ≥ 0 --> 0 ≤ x ≤ √3
Streng monoton fallen also für x ≥ √3
b) Konvexität f''(x)
f''(x) = - 6·x ≤ 0 für x ≥ 0 --> Der Graph ist rechtsgekrümmt im ganzen Definitionsbereich.
c)
Da a > 0 ist der y-Achsenabschnitt oberhalb der x-Achse.
Im Intervall [0; √3] ist der Graph streng monoton steigend. Der vertikale Abstand zur y-Achse wir also immer größer. Daher gibt es hier keine Nullstelle.
Im Intervall [√3; ∞] ist der Graph streng monoton fallend. Da der Funktionswert für x gegen Unendlich negativ ist gibt es hier genau eine Nullstelle.
d)
∫ (0 bis √3) f(x) dx = F(√3) - F(0) = - 0.25·√3^4 + 4.5·√3^2 + a·√3 = √3·a + 45/4 = 14.71 --> a = 1.998
