Bestimmen Sie für diese beiden Geraden jeweils eine Funktionsgleichung.

Question

Aufgabe:

Es geht um folgende Funktionenschar:

g_a(x) = (a+x)(a²-x²), a > 0, x ∈ ℝ

und die Aufgabe lautet:

"Es gibt zwei Geraden, die durch den Tiefpunkt T(-a|0) des Graphen von g_a
verlaufen und Tangente an den Graphen von g_a sind.
Bestimmen Sie für diese beiden Geraden jeweils eine Funktionsgleichung."

Die Lösung aus dem Erwartungshorizont lautet:

"Mit T als Tiefpunkt des Graphen von g_a ergibt sich für eine der Geraden die
Funktionsgleichung u(x)=0.
Für die zweite Gerade v gilt: v(x) = g'_a(s)(x-s)+g_a(s)
v(-a) = 0 ⇔ s = 0 ∨ s = -a

Für s = 0 ergibt sich die Funktionsgleichung v(x) = a²•x+a³

Problem / Frage:

Wie kommt man auf diese zweite Lösung? Aus dem Bisschen, das da im Erwartungshorizont steht, werde ich irgendwie nicht so ganz schlau... :/

g'_a(s) hätte ich als m der typischen Geradengleichung interpretiert, aber ob das so richtig ist, oder selbst dann wie man auf den Rest kommt, verstehe ich nicht so ganz.

Ein ausführlicher Lösungsweg wäre deswegen wirklich toll, damit ich das nachvollziehen kann; danke schonmal für die Hilfe :)

Answer 1

Du suchst nach Geraden, die einerseits durch den Punkt \(  P = (-a | 0) \) gehen und andererseits Tangenten des Graphen \( g_a(x) \) sind.

Die allgemeine Tangentengleichung an den Graphen \( g_a(x) \) in einem beliebigen Punkkte \( s \) auf der x-Achse lautet \( v(x) = g_a'(s) (x-s) + g_a(s) \)

Da die Tangente durch den Punkt \(P = (-a | 0)  \) gehen soll, gilt

\( v(-a) = 2s(a+s)^2 = 0 \). D.h. entweder muss \( s=0\) oder \( s = -a\) sein.

Für \( s=0 \) ergibt sich \( g_a'(0) = a^2 \) und \( g_a(0) = a^3 \) und damit wird die Tangentengleichung zu $$ v(x) = a^2 x + a^3 $$ Für \( s = -a \) ergibt sich \( g_a'(-a) = 0 \) und \( g_a(-a) = 0 \). Damit lautet die zweite Tangentengleichung $$ v(x) = 0 $$

Das kann dann so aussehen, z.B. für \( a = 5 \)

Man sieht, beide Tangenten gehen durch den Tiefpunkt. Die eine hat im Tiefpunkt natürlich die Steigung \( m = 0 \) und die zweite Tangente geht zusätzlich durch den Punkt \(  P = ( 0 | 125  ) \)

Comments

Hi :)

Danke erstmal für deine ausführliche Antwort :D

Ab dem Schritt, bei dem man in v -a einsetzt [ v(-a)=... ] verstehe ich jetzt auch schonmal alles, ich hätte aber noch ein paar Rückfragen, wenn du dazu Zeit hast :)

Könntest du mir vielleicht die Umformungsschritte von der Gleichung zu der, bei der du dann v(-a) eingesetzt hast, zeigen? Ich habe das gerade nämlich ausprobiert, aber kriege das irgendwie nicht mehr weiter vereinfacht und scheine da einen Fehler gemacht zu haben, aber den finde ich nicht.

Und wie kommt man eigentlich im ersten Schritt überhaupt auf die Tangentengleichung, also wie leitet man die her?

Sorry, wenn das echt dumme Fragen sind und das eigentlich vielleicht mega einfach ist und ich dich damit jetzt nur nerve ':), eigentlich bin ich auch ganz gut in Mathe, aber irgendwie verstehe ich die beiden Teile noch nicht.

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1. Tangentengleichung

Eine Gerade durch den Punkt \( (x_0 | y_0) \) mit der Steigung \( m \) lautet ganz allgemein $$ y(x) = m(x-x_0)+y_0 $$ Da Du eine Tangente an den Graphen \( g_a \) im Punkt \( ( s | g_a(s) \) benötigst, ist die Steigung \( m \) der Tangente gegeben durch \( m = g_a'(s) \) und \( y_0 = g_a(s) \), damit lautet die allg. Tangentengleichung an den Graphen \( g_a \) im Punkt \( ( s | g_a(s) ) \)

$$ v(x) = g_a'(s)(x-s)+g_a(s) $$ mit

$$ g_a'(s) = \frac{d}{dx} [ (a+x)(a^2-x^2) ] \bigg|_{x=s} \\ = (a^2-x^2) - 2x (a+x) \bigg|_{x=s} \\ = (a^2-s^2)-2s(a+s) = (a+s)(a-3s)) $$ und $$ g_a(s) = (a+s)(a^2-s^2) $$ also
$$ (1) \quad v(x) = (a+s)(a-3s) ( x- s) +(a+s)(a^2-s^2) $$

2. v(-a) = 0

Da die Tangente aber auch durch den Punkt \( (-a | 0 ) \) gehen soll, muss gelten \( v(-a) = 0 \) und deshalb $$ v(-a) = (a+s)(a-3s)(-a-s)+(a+s) (a^2-s^2) = 2s (a+s)^2 = 0 $$ also folgt \( s = 0 \) oder \( s = -a \)

3. s= 0

Dann folgt aus (1) \(   v(x) = a^2 x + a^3 \)

4. s = -a

Wie eben folgt aus (1) \(   v(x) = 0 \)

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Es geht auch viel einfacher. Eine Gerade durch den TP lautet

\( h(x) = m(x+a) \)

Die Schnittpunkte mit dem Graphen \( g_a \) lauten $$ h(x) = g_a(x) $$ oder $$ m(x+a) = (x+a)(a^2-x^2) $$ und deshalb $$ m = a^2 -x^2 $$ also $$ x = \pm \sqrt{ a^2 - m } $$ Wenn \( h(x) \) eine Tangente an den Graphen \( g_a \) sein soll, darf es nur einen Schnittpunkt geben, also mus \( m = a^2 \) gelten.

Damit lautet die Gerade \( h(x) = a^2 x + a^3 \)

Die zweite Gerade lautet natürlich \( h(x) = 0 \) weil im TP die Steigung natürlich \( m = 0 \) sein muss und die Gerade durch \( y = 0 \) gehen soll.

Answer 2

Löse folgende Gleichung

(g(x) - 0) / (x - (-a)) = g'(x) --> x = 0 ∨ x = -a

Du stellst jetzt an den Stellen für x die Tangente auf.

t1(x) = 0

t2(x) = g'(0)·(x - 0) + g(0) = a^2·x + a^3

Wo liegen konkret dann die Probleme?