Ich will mal den Kern der Sache heraus arbeiten. Gehen wir aus von den " dritten Einheitswurzeln " , wie man die Lösungen des Polynoms ( 1 ) nennt
f ( x ) := x ³ - 1 = 0 ( 1 )
" Unn jetz stellemer ons janz domm; unne sagemer so: "
Die Wurzel x3 = 1 kennst du. Die würdest du doch jetzt ganz typisch mittels Polynomdivision ( PD ) abspalten. Kleiner Hinweis zur Güte; Was die meisten Schüler wissen; was die Lehrer nicht wissen.
Es handelt sich um ===> Samisdat aus dem Internet; kein Hochschulskript kennt es.
Deine PD ist doch ganz typisch PD durch Linearfaktor ( PDLF ) Und die Erkenntnis aus dem Internet: PDLF erweist sich als äquivalent dem Hornerschema. Wenn ich es dir vorführen soll - meld dich ruhig nochmal.
Ich will hier aber mal Werbung für eine Entdeckung Marke Eigenbau machen: die erste und zweite ===> Alfonsinische pq-Formel ; kurz Alfonsinische Formeln ( AF ) Nebenbei bemerkt; ich halte die AF für Straightforward.
Ich fand es ganz witzig, sie zu benennen nach der Romanfigur " König Alfons 3/4 XII von Liummerland " genau, wie die ===> Quarks der Kernphysik ihren Namen der Weltliteratur verdanken.
Die PD hat ja durchaus ihre Verdienste; und ich freu mich auch, dass ihr sie beherrscht. Nur fällt mir immer wieder auf: Ihr erkennt nicht, wo sie wirkliche praktische Vorteile einträgt ( hier z.B. eindeutig nicht ) Und das ist eben wieder mal ein Versäumnis eurer Lehrer. Dieses quietschende, verrostete Räderwerk der PD werde ich hier nur so weit verfolgen, wie es zur Einführung der Notation unumgänglich ist. Ich gehe aus von der Normalform eines kubisti8schen Polynoms so wie in ( 1 )
f ( x ) := x ³ + a2 x ² + a1 x + a0 ( 2a )
a2 = a1 = 0 ; a0 = ( - 1 ) ( 2b )
Du dividierst durch die Nullstelle x3
f ( x ) : ( x - x3 ) =: g ( x ) ( 3a )
g ( x ) =: x ² - p x + q ( 3b )
g ist das ( quadratische ) Faktorpolynom; und p so wie q sind die beiden gesuchten Unbekannten. Unbekannte sind doch seit Je bei Schülern bestens eingeführt: hinter den AF verbirgt sich nichts weiter als zwei Formeln zur Bestimmung von p und q . pq-Formeln gehören auf Spickzettel und Formelsammlung, das wisst ihr ( auch und gerade, wenn sie von mir stammen; haha )
a2 = - ( p + x3 ) = 0 ===> p = ( - 1 ) ( 4a ) ( AF1 )
a0 = - q x3 = ( - 1 ) ===> q = 1 ( 4b ) ( AF2 )
einsetzen von ( 4ab ) in ( 3b )
g ( x ) = x ² + x + 1 ( 5a )
Du würdest das jetzt mit der Mitternachtsformel machen; Vieta das geschmähte Stiefkind erweist sich eindeutig als schneller. Was wir zu zeigen haben: Es ergeben sich zwei komplex konjugierte Wurzeln z0 bzw. z0 *
p = 2 Re ( z0 ) = ( - 1 ) ===> Re ( z0 ) = ( - 1/2 ) ( 5b )
q = | z0 | ² = 1 ===> | z0 | = 1 ( 5c )
In ( 5c ) erhalten wir einen Einheitsvektor ( Vektor auf dem Einheitskreis ) dessen Phasenwinkel laut ( 5b ) 120 ° C beträgt - Zufall? Und warum haben wir davon in ( 1 ) noch nichts bemerkt? Ich bitte dich, in der einschlägigen Literatur oder in Wiki die Stichwörter nachzusehen ===> Satz von Euler so wie ===> primitive n-te Einheitswurzel. Wenn dann noch Fragen sein sollten - gerne.
Obwohl du längst nach den AF googeln kannst, will ich doch noch den Beweis nachtragen. Der Vieta von ( 3b )
p = x1 + x2 ( 6a )
q = x1 x2 ( 6b )
Auch ( 2a ) hat einen Vieta; er ist nur nicht so geläufig.
a2 = - ( x1 + x2 + x3 ) ( 7a )
q = - x1 x2 x3 ( 7b )
Was typisch ist für mich: Du musst den Rückwärtsgang einlegen ( Kolumbus hatte noch keinen Rückwärtsgang und dafür nur ein Ei. ) Einsetzen von ( 6a ) in ( 7a ) so wie ( 6b ) in ( 7b ) - fertig ist die Laube ; wzbw . Es steht schon alles Mund gerecht da. Mit Sicherheit hast du schon kompliziertere LGS gelöst.
Das LGS ( 4ab ) separiert ; im Gegentum zu PD bleibt die Abhängigkeit von dem Koeffizienten a1 unberücksichtigt.
Was ich dir trotzdem empfehlen würde, wenn du danach streben solltest, schlauer zu sein, als ich es in deinem Alter war. Nimm mal einen Schnupperkurs in ===> Funktionenteorie ( FT ) die gibt nämlich Antworten auf Fragen, wie du sie ganz typisch stellst. Gute FT Literatur gibt es ja wie Sand am Meer; schau mal in Wiki vorbei. Oder die drei Knoppbändchen bei Göschen
1) Elemente der FT
2) Einführung in die FT
3) Aufgabensammlung
Sehr schön auch Mc. Laughlin bei Wiley oder der Klassiker Eli Cartan, den wir in der Vorlesung benutzten.
Was hier unbedingt nachgetragen werden muss; ein typischer algebraischer Schluss aus der FT. Die n-ten Einheitswurzeln sind Lösungen des Polynoms
f ( x ; n ) := x ^ n - 1 = 0 ( 8a )
Im Komplexen ist alles einfacher wie im Reellen; das wirst du schnell spitz kriegen. Auf Grund des ===> Fundamentalsatzes der Algebra zerfällt ( 8a ) im Komplexen immer in n Linearfaktoren. Wir müssen nur aufpassen, dass keine Wurzel ===> mehrfach ist. Das ist jedoch unmöglich, da das Kriterium für doppelte ( bzw. noch höhere ) Nullstelle
f ' ( z0 ) = 0 ===> z0 = 0 ( 8b )
Zum Schluss noch ein Kapitel FT , das so anspruchsvoll ist, dass sogar die ganzen Kommilitonen streikten in der Übungsgruppe, wo ich selbst drin war. Aber keine Angst; ich bringe keine Beweise.
Wenn für eine reelle Funktion gilt f ' ( x ) > 0 auf einem Intervall, dann ist sie dort monoton ===> Sie ist treu ( hinreichende Bedingung )
( Nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem ewigen " Hochpunkt " statt Maximum; es heißt nicht " injektiv " , sondern treu. )
Gilt auch die Umkehrung? Nein; siehe Gegenbeispiel ( 1 ) Hier ist f ' ( 0 ) = 0 ; trotzdem ist ja ( 1 ) treu, wie du vermerkst.
Und im Komplexen? Gibt es natürlich keine Monotonie. Trotzdem wäre eine Analogie eine Funktion w = w ( z ) , deren Ableitung nicht verschwindet auf einem ===> Gebiet G . Solche Funktionen heißen ===> analytisch oder holomorph; insbesondere sind sie ===> konform und treu.
( max Zeichen )
