Bestimme Elementarteiler, Minimalpolynom und rationale Normalform der Matrix ((1,0,0,0)(2,2,0,1)…)

Question

Hallo ich komme bei dieser Aufgabe überhaupt nicht weiter. Ich habe mich im Skript alles versucht einzuarbeiten aber kriege diese Aufgabe trotzdem nicht hin.....leider :( und bräuchte unbedingt eure Hilfe !!

Also die Aufgabe lautet

Bestimme Elementarteiler, Minimalpolynom und rationale Normalform der Matrix

                             (  1   0   0   0

                                 2  2   0    -1

                                0   0   1    0

                               11   7   0   -3 )                   ∈ Mat ( 4, 4 ; Q )

Danke für alle Helfer schonmal !

Comments

Bestimmung der Elementarteiler:

Ich weiß es nicht. Ich habe aber folgenden Algorithmus auf einer Webseite gefunden und versuche ihn mal anzuwenden. Vielleicht kann ja nur mal jemand schauen ob man das wirklich so rechnet.

[1, 0, 0, 0; 
2, 2, 0, -1; 
0, 0, 1, 0; 
11, 7, 0, -3]

Obere Zeile von darunter liegenden subtrahieren

[1, 0, 0, 0; 
0, 2, 0, -1; 
0, 0, 1, 0; 
0, 7, 0, -3]

2. und 4. Spalte vertauschen. 2 Spalte mit -1 multiplizieren

[1, 0, 0, 0; 
0, 1, 0, 2; 
0, 0, 1, 0; 
0, 3, 0, 7]

Die zweite Zeile von darunter liegenden subtrahieren. Zweite Spalte von nachfolgenden Spalten subtrahieren.

[1, 0, 0, 0; 
0, 1, 0, 0; 
0, 0, 1, 0; 
0, 0, 0, 1]

Der Elementarteiler wäre demnach 1.

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Bestimmung des Minimalpolinoms

Wir bestimmen die charakteristische Matrix und hieraus das charakteristische Polynom

(M - k*E) =
[1 - k, 0, 0, 0;
2, 2 - k, 0, -1;
0, 0, 1 - k, 0;
11, 7, 0, -3 - k]

det(M - k*E) = (k - 1)^2·(k^2 + k + 1)

Hier wäre also (M - 1)·(M^2 + M + 1) und (M - E)^2·(M^2 + M + 1) möglich. Wir rechnen beides aus

(M - 1)·(M^2 + M + 1)
([1, 0, 0, 0; 2, 2, 0, -1; 0, 0, 1, 0; 11, 7, 0, -3] - [1, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0; 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 1])·([1, 0, 0, 0; 2, 2, 0, -1; 0, 0, 1, 0; 11, 7, 0, -3]^2 + [1, 0, 0, 0; 2, 2, 0, -1; 0, 0, 1, 0; 11, 7, 0, -3] + [1, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0; 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 1]) = [0, 0, 0, 0; 0, 0, 0, 0; 0, 0, 0, 0; 0, 0, 0, 0]

Das stimmt bereits also brauchen wir nicht weiter rechnen.

Damit ist das Minimalpolynom (x - 1)·(x^2 + x + 1)

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hey Der_Mathecoach !

ich wollte mich für deine Mühe bedanken :)

ich habe auch nochmal nachgerechnet und kriege dieselben Ergebnisse raus vielen Dank warst echt eine große Hilfe für mich

Answer 1

Es freut mich, dass du meine Rechnungen bestätigen konntest. Hast du den inzwischen auch heraus wie die rationale Normalform zu rechnen ist? Wenn ja würde ich mich da über eine Rechnungen freuen. Ansonsten muss ich mich da noch mal einlesen.

Comments

hallo also ich habs mal versucht mit unseren formel zu berechnen also ich versuchs dir mal zu erklären :) hoofentlich klappts.

also wir habe ja die Elementarteiler : (T-1)(T² + T + 1)   und das ist ja auch T³ - 1

                                                   und          (T-1)² (T² + T + 1)

rot NF(A) =   3

                          0   0   -1

                          1   0   -1

                          0   1   -1

Das bedeutet : Die 3 steht für den Grad des Polynoms wir haben ja oben T³ in der Mitte der Diagonalen fängts mit null an und gleich darunter mit den 1en.  so rechts von der matrix zählst von -a₀ bis -a_k-1 also wenn dur dir unsere Funktion anschaust haben wir ja T²+T+1

also ist unsere -a₀ die (+1) in dem Fall dann -1 wegen vorzeichen und das schreibst du in die matrix oben rechts rein gleich darunter kommt dann -a₁ = -( +T) = -1  und -a₃=-(+T²)=-1

also so habe ich das gemacht hoffentlich konnte ich es verständlich erklären, bin beim erklären leider nicht so gut wie du :(

Gruß