Fibonacci und goldener Schnitt - Beweis per Induktion

Question

Aufgabenstellung:
Sei (f_n) die Folge der Fibonacci-Zahlen, rekursiv definiert durch f₁ := 1, f₂ := 1 und f_n + 1 := f_n + f_n - 1 für alle n ≥ 2. Außerdem sei (x_n) rekursiv definiert durch x₁ := 1 und x_n + 1 := 1 + 1/x_n für alle n ≥ 1. 
Sei g := 1/2(1 + √5) die Zahl des goldenen Schnittes.
Beweisen Sie:
f_n + 1 - f_ng = ((-1)ⁿ) / (gⁿ) für alle n ∈ N (Tipp: Induktion, außerdem 1 - g = - (1/g))

Mir fehlt gerade die zündende Idee, wie ich diese Aufgabe anfangen soll.Kann mir jemand von Euch helfen?
und beste Grüße!

Answer 1

n=1 gibt  f₂ - f₁ * g = -1 / g

also  1 - g = -1 / g   (w) s. Tipp!

und entsprechend für n=2 .

wenn für alle i bis einschließlich n  die Behauptung stimmt,

dann gilt insbesondere    f_n+1  - f_ng = ((-1)ⁿ) / (gⁿ)    und  f_n -   f_n-1g  = ((-1)^n-1) / (g^n-1)  #

Dann musst du zeigen   f_n+2  - f_n+1g = ((-1)ⁿ⁺¹) / (gⁿ⁺¹)

_wegen  f_n+2 := f_n+1 + f_n    und    f_n+1 := f_n + f_n-1  

gibt das     f_n+2  - f_n+1g

= f_n+1  + f_n  -   g f_n+1 

= f_n+1  + f_n  -   g( f_n  + f_n-1  )

= f_n+1  + f_n  -   g*f_n  - g*f_n-1 

= f_n+1 -   g*f_n      + f_n  - g*f_n-1 

und jetzt # anwenden

= ((-1)ⁿ) / (gⁿ)     +  ((-1)^n-1) / (g^n-1)

= ((-1)ⁿ) / (gⁿ)     + g* ((-1)^n-1) / (gⁿ)

= (  (-1)ⁿ   + g* (-1)^n-1    ) / (gⁿ)

(-1)^n aus klammern

= (-1)^n *  ( 1 - g )  /   g^n    und mit dem Tipp wieder

= (-1)^n *  (-1/ -g )  /   g^n  

 = (-1)ⁿ⁺¹ *  (1/ g )  /   g^n  

 = (-1)ⁿ⁺¹ *    /   gⁿ⁺¹       q.e.d.