Fibonacci Folge induktion

Question

Die Fibonacci Folge (an) n ∈ℕist rekursiv definiert durch a0 = 1, a1 = 1, an+1 = an + an-1

a_n+1 · a_n-1 -  (a_n)² = (-1)^{n+1}        für alle n ≥ 1

mittels Induktion kommt man auf folgenden Schritt

n -> n+1

a_n+2 * a_n - (a_n+1)^2 = (-1)ⁿ

hab dann versucht zu vereinfachen und kam nach unzähligen Schritten zu

(-a_n-1 )^2 -a_n = (-1)^n 

Hab nun keine Ahnung wie ich weitermachen soll hoffentlich kann mir wer helfen

Answer 1

Als extreme Vereinfachung schlage ich vor, dass du mal beschreibst, was überhaupt zu machen ist.

Comments

Es gilt zu zeigen a_n+1 · a_n-1 -  (a_n)² = (-1)ⁿ⁺¹ für alle n ≥ 1

setzt man dann für n -> n+1 ein erhält man

a_n+2 * a_n - (a_n+1)² = (-1)ⁿ

ich steck da einfach an meinem punkt fest. Für gerade n muss ja 1 und für ungerade n muss ja -1 herauskommen nur weiß ich nicht ob ich bei meiner vereinfachung irgendwie an ein ergebnis rankomme

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Ich bin bis jetzt mal soweit gekommen :

$$ a_{n+1} · a_{n-1} -  (a_n)^2 = (-1)^{n+1 }  $$
$$a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}$$
$$ (a_{n}+a_{n-1})· a_{n-1} -  (a_n)^2 = (-1)^{n+1 }  $$
$$ (a_{n})· a_{n-1}+(a_{n-1})^2 -  (a_n)^2 = (-1)^{n+1 }  $$
$$ (a_{n-1}+a_{n-2})· a_{n-1}+(a_{n-1})^2 -  (a_n)^2 = (-1)^{n+1 }  $$
$$ a_{n-2}· a_{n-1}+(a_{n-1})^2+(a_{n-1})^2 -  (a_n)^2 = (-1)^{n+1 }  $$
$$ a_{n-2}· a_{n-1}+(a_{n-1})^2+(a_{n-1})^2 -  (a_{n-1}+a_{n-1})^2 = (-1)^{n+1 }  $$
$$ a_{n-2}· a_{n-1}+(a_{n-1})^2+(a_{n-1})^2 - \left( (a_{n-1})^2+2(a_{n-1}\cdot a_{n-2})+(a_{n-2})^2 \right)= (-1)^{n+1 }  $$
$$ (a_{n-1})^2-(a_{n-1}\cdot a_{n-2})-(a_{n-2})^2 = (-1)^{n+1 }  $$

und weiss ab da auch nicht mehr, wie es weitergeht ...

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Bei Induktionsbeweisen hat es sich schon oft bewährt, irgendwann mal die Induktionsvoraussetzung einzusetzen.

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Das mit der Induktion habe ich ja völlig vergessen !