Induktion mit rekursiver Folge (Fibonacci)-Gleichungen richtig aufgestellt?

Question

Aufgabe:

Seien \( f_{1}, f_{2}, f_{3}, \ldots \) die Folgenglieder der Fibonacci-Folge. Diese erfüllen \( f_{1}=f_{2}=1 \) und \( f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2} \) für alle \( n \geqq 3 \). Zeigen Sie mit Hilfe von vollständiger Induktion, dass     \( f_{n}^{2}+f_{n} f_{n+1}-f_{n+1}^{2}=(-1)^{n+1} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt.

Problem/Ansatz:

Die Induktionsbehauptung ist :   \( f_{n+1}^{2}+f_{n+1} f_{n+2}-f_{n+2}^{2}=(-1)^{n+2} \)

Im Induktionsschritt habe ich folgende zwei Gleichungen aufgestellt:

-->(-1)ⁿ⁺² = (-1)ⁿ⁺¹* (-1)^1   (um das fehlende Glied auszugleichen bzw. dass das Gleichheitszeichen stimmt.

--> \( f_{n+1}^{2}+f_{n+1} f_{n+2}-f_{n+2}^{2}=(-1)^{n+2} \) = \( f_{n}^{2}+f_{n} f_{n+1}-f_{n+1}^{2}=(-1)^{n+1} \) * (-1)^1

Ich habe versucht die zweite Gleichung aufzulösen. Bisher habe ich nichts sinnvolles raus.

Jetzt;Ist denn der Ansatz richtig? Und brauche ich die gegebenen allgemeinen Informationen zur Folge irgendwo?

Comments

Ich habe als fertige Umformung folgendes heraus:

f_n+1(f_n+2+f_n)= -f_n²+f_n+2²

Weiter vereinfachen kann ich nicht ..

Ich habe einige Proben ausprobiert und sie haben geklappt.

Dabei habe ich die Gleichung zum Bestimmen von allgemeinen fn gebraucht.

Bin ich am Ende?Reicht das bisschen einsetzen?

( Ich habe mich bei meinen ersten Versuchen verrechnet ;)

Answer 1

Verwende die Rekursion   \(    f_{n+2} =  f_{n+1} +  f_{n}  \) 

Das gibt : \( f_{n+1}^{2}+f_{n+1} f_{n+2}-f_{n+2}^{2} \)

\( = f_{n+1}^{2} +f_{n+1} \cdot (f_{n+1} +  f_{n} ) - (f_{n+1} +  f_{n} )^2 \) 

\( = f_{n+1}^{2} +f_{n+1}^2+  f_{n+1} \cdot f_{n} - (f_{n+1}^2 +2 f_{n+1} \cdot f_{n}+  f_{n} ^2) \)

\( = f_{n+1}^{2} +f_{n+1}^2+  f_{n+1} \cdot f_{n} - f_{n+1}^2 -2 f_{n+1} \cdot f_{n}- f_{n} ^2 \)

\( = f_{n+1}^2 - f_{n+1} \cdot f_{n}- f_{n} ^2 \)

\( = (-1)  \cdot (-f_{n+1}^2 + f_{n+1} \cdot f_{n}+  f_{n} ^2) \)

Nach Induktionsannahme ist das

\( = (-1)  \cdot (-1)^{n+1}  =  (-1)^{n+2} \)

Comments

ah danke, so geht das natürlich viel leichter mit der Rekursiv von f_n+2! Wäre niemals darauf gekommen.

Das ist aber keine allgemeine Definition, sondern nur für die Fibonacci-Folge, richtig?