Die Folge der Fibonacci-Zahlen (fn)n∈N0 ist definiert durch ... Zeigen Sie:

Question

Aufgabe:

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Aufgabe \( 5\left((2+2+2)+(1+2+2)\right. \) Punkte). Die Folge der Fibonacci-Zahlen \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}_{0}} \) ist definiert durch
\( f_{0}:=0, \quad f_{1}:=1 \quad \text { und } \quad f_{n+1}:=f_{n}+f_{n-1} \quad \text { für alle } n \in \mathbb{N} . \)
(a) Zeigen Sie:
(i) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f_{n}=\infty \).
(ii) \( f_{n+1} f_{n-1}-f_{n}^{2}=(-1)^{n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).
(iii) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{f_{n+1} f_{n-1}}{f_{n}^{2}}=1 \).
(b) Für \( n \in \mathbb{N} \) sei \( a_{n}:=\frac{f_{n+1}}{f_{n}} \). Ferner sei \( g \) der goldene Schnitt, also die eindeutig bestimmte positive Lösung der Gleichung \( g^{2}=1+g \cdot{ }^{1} \) Zeigen Sie:
(i) Es gilt \( g=1+\frac{1}{g} \) und \( a_{n+1}=1+\frac{1}{a_{n}} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).
(ii) Für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt \( \left|a_{n}-g\right|=\frac{1}{f_{n} g^{n}} \).
(iii) Es gilt \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=g \).

Also die a) (i) habe ich schon mal.

Jetzt bräuchte ich Hilfe oder einen Ansatz bei der (ii) und (iii)

LG

Answer 1

\( f_{n+1} f_{n-1}-f_{n}^{2}=(-1)^{n} \) #

Geht wohl mit vollst. Induktion. Für n=1 ist es ja klar.

Für n+1 hat man

 \( f_{n+2} f_{n}-f_{n+1}^{2}=   (f_{n+1}+f_n) \cdot f_{n}-( f_n +f_{n-1})^{2} \)

\( =  f_{n+1}f_n +f_n^2   - f_n^2 -2f_nf_{n-1} - f_{n-1}^{2} \)

\( =  f_{n+1}f_n  -f_nf_{n-1}- f_nf_{n-1} - f_{n-1}^{2} \)

\( =  f_n(f_{n+1}  -f_{n-1})-f_{n-1}(f_n + f_{n-1}) \)

Wegen \( f_{n+1}  =f_n +f_{n-1} \) hat man \( f_{n+1}  -f_{n-1} =f_{n} \) also weiter

\( =  f_nf_{n}   -f_{n-1}f_{n+1} = (-1) \cdot (f_{n-1}f_{n+1}   -f_n^2)\)

# anwenden gibt     \( =(-1)\cdot (-1)^n = (-1)^{n+1} \)   q.e.d.

Comments

\( f_{n+2} f_{n}-f_{n+1}^{2}=  (f_{n+1}+f_n) \cdot f_{n}-\color{blue}( f_n +f_{n-1})^{2} \)

das \(f_{n+1}\) kann man auch gleich stehen lassen:$$\begin{aligned} f_{n+2}f_{n}-f_{n+1}^2&=(f_{n+1}+f_{n})f_{n} - f_{n+1}^2 \\ &= f_{n}^2 +f_{n+1}(f_{n} - f_{n+1}) \\ &= f_{n}^2 -f_{n+1}(f_{n+1} - f_{n}) \\ &= f_{n}^2 -f_{n+1}f_{n-1} \\ &= -(-1)^n = (-1)^{n+1} \end{aligned}$$

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Danke für die Hilfe,

ich komme außerdem bei der b) nicht weiter. Ich bräuchte da eventuell auch dringend hilfe

Answer 2

Hallo,

ich komme außerdem bei der b) nicht weiter. Ich bräuchte da eventuell auch dringend hilfe

eventuell oder dringend?

Es ist immer besser Du fragst ganz konkret wo's hängt.

b (i) ist relativ einfach. Da muss man nur die Definitionen von \(g\) und \(a_n\) verwenden. Wenn Du da auch Schwierigkeiten hast, so melde Dich nochmal.

b (ii) gibt es hier in der Mathelounge schon mehrfach gelöst. Das ist ein bißchen tricky und geht über Beweis per Induktion. Man zeigt es erst für $$\begin{aligned} n=1: \quad |1  - g| &= \frac{1}{1 \cdot g^1} \\ g-1 &= \frac{1}{g} \\ g &= 1 + \frac{1}{g} \space \checkmark \end{aligned}$$dann den Übergang von n nach n+1$$n \to n+1: \\ \begin{aligned} \left| a_{n+1} - g \right| &= \left|1 + \frac{1}{a_n} - g\right|\\ &= \left|\frac{1}{a_n} - (g-1)\right|\\ &= \left|\frac{1}{a_n} - \frac{1}{g}\right|\\ &= \frac{\left|g-a_{n}\right|}{ga_n} \\ &= \frac{1}{ga_n \cdot f_{n}g^n} &&|\,\text{lt. Vor.}\\ &= \frac{1}{\frac{f_{n+1}}{f_{n}} \cdot f_{n}g^{n+1}} \\ &= \frac{1}{f_{n+1}g^{n+1}} \\ &\text{q.e.d.} \end{aligned}$$

b (iii) hier kannst Du (ii) verwenden$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{f_{n}g^n} = 0\\ \implies \lim\limits_{n \to \infty } |a_n - g| = 0 \\\implies \lim\limits_{n \to \infty} a_n = g$$Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Ich bin zwar nicht der Fragesteller aber hab auch mal eine Frage

Undzwar wo kommen solche Aufgaben vor, im Studium bzw in welchen Studium und für was braucht man sowas?

Ich will eigentlich später mal Mathe studieren hab noch paar Jahre, aber wenn ich sowas sehe, dann bin ich bestimmt im ersten Semester raus

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Ich glaube eigentlich fast 90 %, die Mathematik im Studium hatten, haben sich früher oder später mit Folgen und auch mit der Fibonacci Folge beschäftigt.

Schau mal bei Youtube. Fast jeder Youtuber aus dem Bereich Mathematik hat irgendwann mal sicher etwas zu der Fibonaccifolge gemacht.

Und ich denke, auf fast jedem Lernportal für Studenten wirst du etwas darüber finden.

https://studyflix.de/mathematik/fibonacci-folge-5511

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Das Studium ist eben nicht vergleichbar mit der Schule. Da geht es in erster Linie auch darum, gewisse Beweistechniken zu lernen und strukturiert an Aufgabenstellungen heranzugehen. Man muss für ein Studium also Exil viel Interesse an Mathematik mitbringen und auch Spaß am Knobeln haben. Es braucht eine hohe Frustrationstoleranz und man sollte natürlich schon in der Lage sein, logisch und strukturiert Denken zu können. Das sind viele Fähigkeiten, die man im Laufe des Studiums definitiv noch lernt bzw. ausbaut. Meiner Erfahrung nach verfügen die meisten Mathestudenten nicht einmal ansatzweise über diese Fähigkeiten, weshalb ihr Studium ohnehin zum Scheitern verurteilt ist. Ausnahmen bestätigen bekanntlich die Regel. Das sieht man auch an vielen Fragen hier im Forum: kaum jemand setzt sich intensiv genug mit einer Aufgabenstellung und den zugehörigen Unterlagen, die man hat, auseinander. Das gehört aber unweigerlich zum Studium dazu (man beachte mal die Bedeutung des Begriffs). Wer aber die richtige Einstellung und Disziplin zum Studium hat, der wird es auch schaffen. :)

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Würdet ihr sagen, dass wenn man nur Mathe studiert, dass man später gute Jobs bekommen kann, außer jetzt Lehrer. Also bringt das Studium etwas für später um ein guten Job zu bekommen oder sollte man was anderes studieren.

Wenn man jetzt später irgendwas mit IT machen will, bringt das Mathestudium Vorteile oder sollte man lieber einen anderen Studiengang wählen

Vielleicht habt ihr ja Erfahrungen?

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Würdet ihr sagen, dass wenn man nur Mathe studiert, dass man später gute Jobs bekommen kann, außer jetzt Lehrer.

Ich will's mal umgekehrt formulieren: Du solltest auf keinen Fall eine Ausbildung machen, bei der Dir das Fach nicht liegt. Egal wie gut die Berufsaussichten und das spätere Gehalt mal sein könnten!

Nach meinem Gefühl werden viele Mathematiker auch in IT-lastigen Tätigkeiten kommen. Allgemein kann man sagen, dass im technischem Bereich ohne IT heutzutage fast gar nichts mehr geht.

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Also ich habe die Frage gestellt, da ich hier auch überfordert war. Ich studiere Lehramt und habe bisher nur didaktikvorlesungen gehabt in mathe.

Außerdem @Werner-Salomon

Könntest du bitte meine b) i) überprüfen? :)

Text erkannt:

b)
\( \begin{array}{l} \text { (i) } a_{n}:=\frac{f_{n+1}}{f_{n}} \quad g_{2}=1+g \\ 22: g=1+\frac{1}{g} \\ \Rightarrow g^{2}=1+g \quad \mid: g \\ \Rightarrow g=\frac{1}{g}+1=1+\frac{1}{g} \checkmark \end{array} \)
2.2. \( a_{n}+1=1+\frac{1}{a_{n}} \)
\( \begin{aligned} a_{n+1} & =\frac{f_{n+2}}{f_{n+1}}=\frac{f_{n}+f n+1}{f_{n+1}}=1+\frac{f n}{f_{n+1}} \\ a_{n} & =\frac{f_{n+1}}{f_{n}} \text { ensetzen: } \\ a_{n+1} & =1+\frac{1}{a_{n}} \checkmark \end{aligned} \)

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Könntest du bitte meine b) i) überprüfen?

das ist ok!

aus didaktischer Sicht (von mir als Amateur-Didaktiker) müsste (für einen Lernenden) noch klarer rüberkommen, was zu zeigen ist, und was die Voraussetzungen sind.

Gegeben ist: (also die Definition von \(g\))$$g^2= 1+g$$ zu zeigen ist:$$g = 1 + \frac{1}{g}$$Also zusammen gefasst:$$\begin{aligned} &g \stackrel{?}{=} 1 + \frac{1}{g} &&|\, \cdot g \\ g^2 &= g +1 \space \checkmark\end{aligned}$$und nicht mehr. Oder eben auch umgekehrt. Der Dreizeiler von Dir ist IMHO eine Zeile zu viel und verwirrt nur.

Es schadet nicht, bei der Mathematik etwas pingelig zu sein. Insbesondere dann, wenn man sich unsicher ist.

Der zweite Teil mit \(a_{n+1}\) ist für mich völlig in Ordnung.