G(X,Y,Z)=7Z^{2}−4Z+2Y^{2}+4X−12

Question

Der Discounter Superkauf will sein Warenangebot erweitern. Es stehen drei Produkte X, Y und Z zur Verfügung. Eine Einheit von Produkt X kostet 1 Euro. Das Produkt Y kostet 4 Euro je Einheit und Produkt Z sogar 6 Euro pro Einheit. Der Gewinn errechnet sich mit der Funktion

G(X,Y,Z)=7Z^{2}−4Z+2Y^{2}+4X−12

Das Unternehmen ist bereit 1000 Euro investieren. Wie viele Einheiten von Produkt X wird das Unternehmen bestellen, wenn es seinen Gewinn maximieren will?

Answer 1

Hallo Anisa, 

G(x,y,z) = 7·z² - 4·z + 2·y² + 4·x - 12        NB:  1000 - x - 4·y - 6·z = 0

L(x,y,z,λ) = 7·z² - 4·z + 2·y² + 4·x - 12 + λ (1000 - x - 4·y - 6·z )

L_x  = 4 - λ  = 0

L_y  = 4·y - 4·λ  = 0

L_z  =  14·z - 6·λ - 4  = 0

L_λ  =  -x - 4·y - 6·z + 1000  = 0

Lösung das LGS:  x = 972  ∧  y = 4  ∧  z = 2  ∧   λ = 4

Rest editiert, vgl. Kommentare:

geränderte Hessematix A:

⎡  0   1   4    6 ⎤

⎢  1   0   0    0 ⎥

⎢  4   0   4    0 ⎥

⎣  6   0   0  14 ⎦

Die Determinante von A  = -56 > 0 →   Minimum

Gruß Wolfgang

Comments

Muss man das mit der Hesse-Matrix lösen oder geht das auch anders ?

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Mit Hilfe von Georg (vgl. die folgenden Kommentare) habe ich in der Antwort einen Flüchtigkeitsfehler gefunden.

Ein Gewinnmaximum lässt sich offenbar nur mit Georgs Randbetrachtungen finden.

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Hallo Wolfgang,

wenn ich einmal die maximalen Einkaufsmengen für
jedes Gut x =1000, y = 0, z=0 usw einsetze berechnet sich
der Gewinn zu

Steckt irgendwo ein Fehler ?

mfg Georg

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Hallo Georg, dein Einwand ist völlig berechtigt (hätte ich selbst mit "bloßem Auge" sehen sollen).

Sorry, in der jetzt korrigierten Matrix hatte ich die roten Zahlen 0 und 14 vertauscht.

Die korrekte Determinante ist negativ, was für den einzigen kritischen (stationären) Punkt ein lokales Minimum ergibt.

Zum Auffinden des Gewinnmaximums fällt mir dann außer deinen Randbetrachtungen leider auch nichts mehr ein.

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Wieso rechnest du den dann aufeinmal - lamda ? Und kann man das auch ohne die Hesse matrix lösen ??

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Die Determinante von A  = -56 > 0 →   Minimum

Hm... da stimmt irgendwas nicht...

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Du hast recht, die Vorzeichen bei den blauen Zahlen waren falsch.

Answer 2

Was haltet ihr von

x = 4 ; y = 0 ; z = 166 ?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Maximize%5B%7B4x%2B2y%5E2%2B7z%5E2-4z-12,x%2B4y%2B6z%3D1000,0%3Cx%3C1000,0%3Cy%3C250,0%3Cz%3C166%7D,%7Bx,y,z%7D%5D

Comments

Das ist doch falsch? x muss 972 sein

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Und mit welcher Begründung ?

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Das steht so bei mir in der Lösung

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Hm. Und du hast die Aufgabe exakt so gestellt wie sie dir gestellt worden ist? Also ich denke nicht das wolfgang und georgborn oben verrechnet haben. die lösung von georg born trifft doch schon gut die exakte lösung. er hatte auch z = 166. hatte aber nur vergessen, dass man dann noch ein paar taler übrig hat und sich für die letzten 4 taler ein y oder eben 4 x besorgen könnte. wenn man 4 x dazu nimmt maximiert das den Gewinn.

Schau doch bitte nochmals die mit denen hier berechneten Funktionen an ob die alle wirklich so stimmen. Weil von so einer kleinen wichtigen Funktion hängt ja alles ab.

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@anisa, stelle doch bitte einmal ein Foto der Aufgabe ein. Ich hege
Zweifel an der korrekten Aufgabenstellung.

Hallo mathecoach,

  ich hatte lediglich kurz einmal überprüft was bei einem Randmaximum
als Ergebnis herauskommen würde.

  Frage : wie bekommst du in diesem Editor die Schriftart " Symbol " ( griechisch ) hin ?
Von Wordpad nach hier einkopiert verschwindet die Schriftart wieder.

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Mir ist nicht bewusst hier irgendwo die Schriftart Symbol verwendet zu haben. Wo meinst du genau?

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Dann solltet ihr mal den Professor oder einen Tutor fragen, wie diese Lösung zustande kommt. Ich glaube daran wären hier dann auch noch neben mir andere interessiert.

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Vor ein paar Wochen gab Oswald eine Antwort auf eine Frage bezüglich
eines gleichseitigen Dreiecks. Oswald oder az0815 führten ein
Zitat von Pythagoras in griechisch an. Dies hast du vor ein paar Tagen
nochmals aufgegriffen. So meine ich zunmindest.

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Schau dir mal die andere antwort zu meiner frage an von -Wolfgang-

er hat bei x auf 972 raus

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Ja. Ich erinnere mich. Ich hatte allerdings dabei nur den Post als Zitat kopiert. Ich selber habe da nichts geändert. Ich denke das ist urspünglich von einer Webseite mit den richtigen HTML-Tags kopiert worden.

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Ein Randmaximum / Gewinn von 192000 bei einem Einkaufspreis
von 1000 €  ist sowie Unsinn.

Die Frage wird immer mysteriöser.

x,y,z sind auf jeden Fall Mengenangaben.

Die angegebenen Preise sind Einkaufspreise.

Beispiel
Anteil am Gewinn von y : 2*y^2

Einkauf : 40 y zu 4 Euro = 160 €
Gewinn : 2 * 40^2 = 3200 €

Ist das nicht völlig Praxisfern ?

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Ist der rechenweg von wolfgang den so richtig ?

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Dann ist die Lösung verkehrt. Bei 972 befindet sich ein Minimum wie Wolfgang oben auch richtig erkannt hat.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=minimize%5B%7B4x%2B2y%5E2%2B7z%5E2-4z-12,x%2B4y%2B6z%3D1000,0%3Cx%3C1000,0%3Cy%3C250,0%3Cz%3C166%7D,%7Bx,y,z%7D%5D

Offensichtlich haben dann die Studenten schlampig gearbeitet und nicht die hinreichende Bedingung geprüft.

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Wie meinst du das, dass die lösung verkreht ist

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"Ist das nicht völlig Praxisfern ?"

Ja. Das ist völlig Praxisfern. Zumindest für einen Discounter der sein Warenangebot vergrößern will. Leider sind viele Aufgaben aus der Uni völlig praxisfremd. Auch wenn die Aufgaben aus der Schule auch nicht immer an der Realität liegen treffen sie sie wohl deutlich eher.

Aber das kann man ja noch verschmerzen, wohingegen es schon blöd ist wenn ein Maximum mit Minimum verwechselt wird.

Vor allem bei Aufgaben an denen sicher nicht nur eine Person beteiligt ist sondern mehrere.

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Oh also ist 972 das minimum und nicht das maximum ? :O

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"Wie meinst du das, dass die lösung verkreht ist "

Das x = 972 genommen werden sollte wenn der Discounter möglichst wenig Gewinn machen möchte. Das trifft allerdings nicht die Fragestellung der Aufgabe, den Gewinn zu maximieren.

Das wäre so als wenn in einer Aufgabe nach der höchsten Temperatur gefragt wird und ich gebe diese im Winter an :)

Im Winter haben wir auch ein Extremum dort aber ein Minimum. Das ist also offensichtlich falsch.

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Was wäre dann die richtige antwort

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x = 4 ; y = 0 ; z = 166 ?

Also eigentlich nur x = 4, weil nur nach x gefragt worden ist.

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Bist du dir sicher :D ?

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ja. ich bin mir sicher. du kannst auch ein Computerprogramm schreiben welches alle möglichen Kombinationen in G(x,y,z) einsetzt und sich die Kombination mit dem höchsten Ergebnis merkt und die Kombination ausgibt.

Was hindert dich eigentlich daran mal beide Vorschläge in G(einzusetzen und mal zu prüfen wo der Gewinn am höchsten ist ?

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also ist der gewinn bei x=4 höher als bei x=972?

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Bitte setz es doch mal ein, wenn du mir nicht glaubst ...

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Okay du hast recht..

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Ich vermute einmal :

Jemand hat eine Aufgabe stellen wollen G ( x,y,z ) mit einer
Randbedingung.

Durch Berechnung hat er selbst eine Extremstelle mit x = 972
herausbekommen aber nicht überprüft ob dies eine Min oder Max-Stelle ist.

Fälschlicherweise wurde eine Max-Stelle ( Gewinn ) angenommen.

Dies dürfte alles sein.