Zeige g^2=e für ein g aus der Gruppe G

Question

Sei G eine Gruppe mit |G| = 2n für eine natürliche Zahl n ≥ 1. Zeigen Sie, dass ein Element g ∈ G, g≠e mit g²= e existiert.

Ideen das zu beweisen?

Answer 1

Betrachte auf G die Relation   a ~ b  <=>  a = b oder a = b^-1 

ist eine Aquivalenzrelation da

reflexiv  ( für jedes a gilt a=a )

symmertisch  denn a=b <=> b=a   und   a = b^-1 <=>  b^-1 = a

transitiv  a=b und b=c =>  a=c
             a=b und b=c^-1 =>  a=c-¹   andere Reihenfolge entsprechend
             a=b^-1 und b=c^-1  =>  b^-1 = c also a=c

Die Äquivalenzklassen dieser Relation bestehen aus 1 Element, falls es zu
sich selbst invers ist ( also g^2 = e ) und aus genau
2 Elementen ( nämlich g und g-1 ) , falls g nicht zu sich selbst invers.

Und die Äquivalenzklassen zerlegen G in paarweise disjunkte Mengen, deren
Vereinigung G ist.   Da es mindestens eine Äquivalenzklasse mit genau einem
Element gibt ( nämlich die, in der e ist ) und Vereinigung eine gerade Zahl ergibt,
muss es eine zweite Klasse mit genau einem Element geben.
Das ist das gesuchte.

Comments

Ich habe exakt die selbe Aufgabe und kann dir auch folgen. Muss ich aber das: "Da es mindestens eine Äquivalenzklasse mit genau einem 

Element gibt ( nämlich die, in der e ist ) und Vereinigung eine gerade Zahl ergibt, 
muss es eine zweite Klasse mit genau einem Element geben. 
Das ist das gesuchte."  auch formal beweisen? Ich wüsste nicht wie man da ansetzt

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Da gibt es ja formal nicht mehr viel zu beweisen.

Wenn man eine Vereinigung disjunkter Mengen hat ist die

Anzahl der Vereinigung die Summe der einzelnen Anzahlen.

Dafür kommen nur 1en und 2en in Frage. Da es mindestens eine 1 gibt,

muss es noch eine geben.

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Ich habe gerade die gleiche Aufgabe. Also wenn ich das richtig verstanden habe, dann reicht der Beweis so wie mathef ihn oben angegeben hat oder?

Weil intuitiv hätte ich auch gedacht, dass ich direkt noch ein Element angegen muss mit g≠1 und g²=1. Allerdings weiß ich auch nicht wie man das machen würde, aber dein Beweis von oben verstehe ich