Geben Sie ein Beispiel einer endlichen Gruppe (G, ∗) mit z.B. Ord(x ∗ y)≠ Ord(x) · Ord(y) an

Question

(a) Geben Sie ein Beispiel einer endlichen Gruppe (G, ∗) und zweier Elemente x, y ∈ G, so
dass Ord(x ∗ y)≠ Ord(x) · Ord(y) ist.
(b) Sei (G, ∗) eine Gruppe. Beweisen Sie, dass Ord(x ∗ y) = Ord(y ∗ x) für alle x, y ∈ G gilt.
Bemerkung: Im Allgemeinen gilt x ∗ y≠y ∗ x.
(c) Sei (G, ∗) eine Gruppe. Beweisen Sie, dass Ord(x) = Ord(x^{-1}) für alle x ∈ G gilt.

Comments

zu a)   Passt leider nicht (s. Kommentar)

Betrachte  in der Gruppe der reellen 2x2 Matrizen

mit der Matrizenmultiplikation die Matrix M=

  1    1
  0    1

Die hat keine endliche Ordnung, aber ist das Produkt von A =

  0   1
-1    0

(mit der Ordnung 4 )   und  B =

0   -1
1    1

mit der Ordnung  6 .

siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Ordnung_eines_Gruppenelementes

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Gruppe? Endlich?

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Oha, das hatte ich übersehen.

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(a)

Schau mal hier https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_kleiner_Gruppen#Liste_aller_Gruppen_bis_Ordnung_20 ob du eine Gruppe findest, die passt zu deiner Frage.

(c)

Ord(x) = Ord(x −1)

Was soll die 1 in G sein?

Meinst du

Ord(x) = Ord(x^{-1})?

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ja genau das meinte ich

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Ok. Wird korrigiert.

(a) hast du inzwischen?

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nein ich verstehe das immernoch nicht:(

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Hallo Lu, stimmt meine Lösung für Teilaufgabe a:
ℤ₃ = ({0, 1, 2}, +)    Ord(1) = 3  Ord(2) = 3  Ord(0) = 1 ≠ 9  ? 

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https://www.mathelounge.de/23291/geben-sie-ein-bespiel-einer-endlichen-gruppe-mit-ord-ord-ord wäre doch auch a) (?).

@RomanGa: Ich denke schon.

Answer 1

Z₃ = ({0, 1, 2}, +)   

Ord(1) = 3    Ord(2) = 3    Ord(1) • Ord(2) = 9 
Ord(1+3) = Ord(0) = 1 ≠ 9