Mersener Zahlen regelmäßigjeit erkennen

Question

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Mersenne-Primzahlen

(a) Was kann man über die Exponenten n von Mn aussagen, wenn Mn eine Primzahl ist.

Machen Sie Experimente!

(b) Formulieren Sie eine Vermutung!

(c) Untersuchen Sie auch 3n-1 und 6n-1.

(d) Versuchen Sie einen Beweis. Dabei hilft die geometrische Summenformel.

Answer 1

Die Zahlenfolge https://oeis.org/A000043

wird schon lange untersucht!

Ramanujan hat damals viel Vorarbeit geleistet:

http://www.austms.org.au/Publ/Gazette/1997/Nov97/brown.html

Hier Versuche mit Polynomen :

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#(x*(x*(x*(x*(x*((1078-41*x)*x-11060)+55930)-144599)+179872)-76140)+10080)/5040@Ni=0;@N@Bi]=Fx(i);@Ci]=3*i+2;aD[i]=6*i+5;@Ni%3E7@N0@N0@N#

Vermutlich sollt Ihr die Näherungsformel 2.47781*log(x) finden, die

hier beschrieben ist: http://mathworld.wolfram.com/MersennePrime.html

Interessant:

Man hat zwar einige sehr große Mersenne Primzahlen der Form

2^[A000043(n)]-1 oberhalb n > 44 gefunden (bis n=48),

ABER der genaue Index ist nicht bekannt, d.h. es könnten noch einige andere Primzahlen dieser Form dazwischenliegen und damit würde sich der Index für n>44 jedesmal bei Neufund um eins nach hinten verschieben!