Zufallsversuche , Kontrolle

Question

Ich würde mich über eine Kontrolle freuen:
In einer Urne befinden sich 10 blaue (B), 8 grüne (G) und 2 (R) rote Kugeln.

a) Aus der Urne wird dreimal eine Kugel ohne Zurücklegen gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
A:,,Es kommt die Zugfolge RBG."

P(A)=2/20 * 10/19 * 8/18 =0,023

B:,,Jede Farbe tritt genau einmal auf."

P(B)=(10/20 * 8/19 * 2/18) + (10/20 * 2/19 * 8/18 ) + (8/20 *10/19 *2/18) + (8/20* 2/19* 10/18) + (2/20 * 8/19 *10/18) + (2/20 * 10/19 * 8/18)= 0,6140

C:,,Alle gezogenen Kugeln sind gleichfarbig."

P(C)=(10/20 * 9/19 * 8/18) + (8/20 * 7/19 * 6/18) + (2/20 * 1/19 * 0/18) = 0,1544

D:,,Mindestens zwei der Kugeln sind blau."

P(D)=(10/20 * 9/19 * 8/18) + (10/20 * 9/19 *2/18)+ (10/20* 2/19 * 9/18)+ (2/20 * 10/19 * 9/18) + (10/20 * 9/19 * 8/18) + (10/20 * 8/19 * 9/18) + (8/20 *10/19 * 9/18)=0,5

b) Aus der Urne wird viermal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind genau 3 blaue Kugeln dabei?

P(genau 3 blaue)=(10/20 *10/20 * 10/20 * 8/20)³ +(10/20 *10/20 * 10/20* 2/20)³=0,0125

c) Wie viele Kugeln müssen der Urne mit Zurücklegen entnommen werden, damit unter den gezogenen Kugeln mit wenigstens 90%iger Wahrscheinlichkeit mindestens eine rote Kugel ist? Hinweis: Betrachten Sie das Gegenereignis ,,keine rote Kugel".

P(mindestens eine rote Kugel) >= 0,90

1-P(keine rote Kugel) >=0,90

-(18/20)^n     >= -0,1

(18/20)^n     <=0,1

n*log(18/20)  <=log(0,1)

n>=22

d) In einer weiteren Urne U2 befinden sich 8 blaue, 8 grüne und 4 rote Kugeln. Es wird folgenden Spiel angeboten: Man muss mit verbundenen Augen eine der beiden Urnen auswählen und 1 Kugel ziehen. Ist die gezogene Kugel rot, so erhält man 20 € ausbezahlt. Wie groß ist die Gewinnwahrscheinlichkeit? Bei welchem Einsatz ist das Spiel fair?

P(,,Gewinn")=4/20+2/20=0,3

0=0,3*20€ - e

0=6€-e    

e=6€

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wahrscienlichkeitsrechung

Stichworte: wahrscheinlichkeit

In einer Urne befinden sich 10 blaue, 8 grüne und 2 rote Kugeln.

a Aus der Urne wrid dreimal ohne zurücklegen gezogen. Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:

A: Jede Farbe tritt genau einmal auf

B: Alle gezogenen Kugeln sich gleichfarbig

C: Mindestens zwei Kugeln sind blau

Answer 1

a)

P(A) = 2/20 · 10/19 · 8/18 = 4/171 = 2.34%

P(B) = 3! · P(A) = 6 · 4/171 = 8/57 = 14.04%

P(C) = 10/20·9/19·8/18 + 8/20·7/19·6/18 + 2/20·1/19·0/18 = 44/285 = 15.44%

P(D) = 10/20·9/19·10/18·3 + 10/20·9/19·8/18 = 1/2 = 50%

b)

P(genau 3 blaue) = COMB(4, 3)·0.5^3·0.5^1 = 1/4 = 25%

c)

1 - (1 - 2/20)^n ≥ 0.9 --> n ≥ 21.85 --> n ≥ 22

d)

P(gewinn) = 0.5·2/20 + 0.5·4/20 = 3/20 = 15%

- E + 0.15·20 = 0 --> E = 3

Comments

1.)

P(gewinn) = 0.5·2/20 + 0.5·4/20 = 3/20 = 15%

0,5 weil die Wahrschei. so beträgt aus einer der beiden urnen zu treffen oder?

2.)

P(genau 3 blaue) = COMB(4, 3)·0.5³·0.5¹ = 1/4 = 25%

Wie kommt man auf 0,5^1 ?

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1) Ja. 0.5 ist die Wahrscheinlichkeit eine der Urnen zufällig auszuwählen.

2)

Kennst du die Formel für die Binomialverteilung

P(X = k) = (n über k) * p^k * (1 - p)^{n - k}

Wenn p^k klar ist sollte es eigentlich (1 - p)^{n - k} auch sein. Gegenwahrscheinlichkeit zuu 0.5 ist auch 0.5. und wenn ich bei 4 versuchen genau 3 blaue habe ist genau eine nicht blau.

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Vielen Dank                                  

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Man hätte doch sicherlcih auch bei a) die Bernoulli Kette anwenden können?

Wieso nutzt du die aber erst bei b), wann ist es also geschickt?

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Wenn man ohne Zurücklegen zieht darf man nicht mit der Bernoullikette rechnen. Ausnahmen bestätigen dann diese Regel.

Lautet es also irgendwo es wird ohne zurücklegen gezogen weißt du gleich. Ah. Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich also ist Bernoulli tabu !

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Vielen Dank für die Hilfe

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- E + 0.15·20 = 0 --> E = 3

Setzt du das gleich 0 , weil der Erwartungswert für den Gewinn 0 sein muss?

Muss man sowas auch begründen?

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Nein. Das muss man nicht begründen. Wenn du Extrempunkte einer Funktion berechnen willst musst du auch nicht begründen warum du dann die erste Ableitung 0 setzt.

Es kann aber auch Aufgaben im hilfsmittelfreien Teil oder eine mündlichen Prüfung geben, wo du erklären sollst warum du dieses oder jenes so machst wie man es normal macht.

Ein Spiel ist fair wenn du Summe aller ein und Auszahlungen auf lange Zeit 0 ist. Das bedeutet das die Einzahlungen die man tätigt auf lange Sicht genau so groß sind wie die Auszahlungen die man bekommt.

Man hat durch Spielen auf lange Sicht also weder einen Vor- noch Nachteil zu erwarten.

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Lieber Mathecoach,

müsste es nicht auch möglich sein, Aufgabe b) kombinatorisch zu lösen?

Würde mich über deinen Ansatz freuen, stehe gerade auf dem Schlauch.

Lg

Kombinatorix

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Bzw. hier erstmal meine Idee:

Es gibt 10•10•10 Möglichkeiten drei Blaue Kugeln zu ziehen. Da es nicht auf die Reihenfolge ankommt, gilt: \( \frac{10•10•10}{3!} \). Diese drei blauen Kugeln kann man jetzt noch mit 10 anderen Kugeln kombinieren weshalb gilt: \( \frac{10•10•10}{3!} \)•10.

So insgesamt wäre die folgende Anzahl an Kombinationen möglich:

20•20•20•20. Da es wieder nicht auf die Reihenfolge ankommt: \( \frac{20•20•20•20}{4!} \).

Wenn man jetzt die Anzahl der günstigen Kombinationen durch die der möglichen Kombinationen teilt, komme ich auf folgendes Ergebnis:

 \( \frac{10•10•10•10}{3•2•1} \) •\( \frac{4•3•2•1}{20•20•20•20} \)=\( \frac{10•10•10•4}{20•20•20•20} \) =\( \frac{1}{4} \) 

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b)

Du könntest auch sowohl im Zähler als auch im Nenner die Reihenfolge berücksichtigt lassen.

4 * 10^3 * (8 + 2)^1 / 20^4 = 1/4

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Danke. Aber mein Ansatz ist auch legitim oder?

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Ja. Das ist natürlich auch richtig.

Answer 2

a)10/20*8/18*2/18 * 3! (Reihenfolge!)

b) (10*9*8)/(20*19*18) +(8*7*6)/(20*19*18)

c) (10*9*10)/(20*19*18) * 3 + (10*9*8)/(20*19*18)

Comments

warum 10 * 9* 10 ??? hää

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blau -blau- nichtblau