Eine Funktion 8. Grades kann 8 Nullstellen haben, muss sie aber nicht. Beispiel: y = x^8
f(x) = -x^8 + 14x^4 - 49
Die Funktion ist Achsensymmetrisch, daher brauche ich die Kurvendiskussion nur für alle positiven x machen. Negative x verhalten sich Achsensymmetrisch.
Nullstellen f(x) = 0
-x^8 + 14x^4 - 49 = 0 | Substitution z = x^4
-z^2 + 14z - 49 = 0
z = 7
x = 7^{1/4} = 1.627
Extremstellen f'(x) = 0
-8x^7 + 56x^3 = -8x^3(x^4 + 7) = 0
x = 0
x = 7^{1/4}
f(0) = -49 --> (0, 49)
f(7^{1/4}) = 0 --> (1.627, 0)
Wendestellen f''(x) = 0
-56x^6 + 168x^2 = -56x^2(x^4 - 3) = 0
x = 0
x = 3^{1/4}
f(0) = -49 --> (0, 49)
f(3^{1/4}) = -16 --> (1.316, -16)
Skizze
