Die Kurve y = f (x) = 2 - x^4. Suche die Gleichung der Tangente an der Stelle x=1/2.

Question

Die Kurve y = f (x) = 2 - x⁴ wird an der Stelle
x = 1/2  von einer Geraden y = g(x) tangiert.
Die Gleichung der Geraden ist g(x) =

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Kannst du denn schon ableiten?

Answer 1

Die Kurve f(x) hat an der Stelle x = 1/2 die folgende Steigung:

f'(x) = -4x^3

also f'(1/2) = -4*(1/2)^3 = -1/2

Die Tangente hat an dieser Stelle die gleiche Steigung.

Uns fehlt noch der Funktionswert

f(1/2) = 2 - (1/2)^4 = 2 - 1/16 = 31/16.

 

Die Formel für eine Tangente an eine Funktion f(x) an der Stelle x0 lautet allgemein:

g(x) = f'(x0) * (x - x0) + f(x0)

Wir setzen die gefundenen Werte ein und erhalten:

g(x) = -1/2 * (x - 1/2) + 31/16  

Comments

Prima Lösung. 

Man hat bei Tangenten meist immer eine Funktion f(x) und eine Stelle x₀ an der die Tangente angelegt werden soll.

Hier im Beispiel ist das f(x) = 2 - x^4 und x₀ = 1/2

Um die Tangente zu bestimmen brauchen wir 3 Dinge:

x₀ = 1/2 (Haben wir bereits gegeben)
f(x₀) = 2 - x^4 = 2 - (1/2)^4 = 31/16
f'(x₀) = -4 * x^3 = -4 * (1/2)^3 = - 1/2

Mit diesen 3 Sachen kann man jetzt direkt die Tangentengleichung aufstellen

t(x) = f'(x0) * (x - x0) + f(x0)
t(x) = -1/2 * (x - 1/2) + 31/16

Wenn man nett ist, kann man das auch noch ausmultiplizieren. Das muss aber nicht gemacht werden, wenn nicht danach gefragt ist.

t(x) = -1/2 * (x - 1/2) + 31/16 = -x/2 + 35/16