Bestimme einen Vektorraumhomomorphismus

Question

Bestimme einen F5-Vektorraumhomomorphismus φ: Map(F5, F5) → Map(F5, F5)

mit

Ker φ = Mapeven(F5, F5)

F5 bezeichnet den Körper mit 5 Elementen, es gilt also 5=0.

Map ist wie folgt definiert:

Map_even ist die Menge aller f ∈ Map(X, K) für die f(x)=(f(-x) gilt.

Answer 1

Ich denke, dass es klappt mit G : Map(F5,F5) --> Map( F5, F5)

                                                   mit G ( f) = h    wobei  h(x) =  f(x) - f(-x) für alle x aus F5 ist.

1. Es ist ein Hom, denn für alle x aus F5 gilt  G ( f+k) (x) = (f+k)(x) - (f+k)(-x)

                  = f(x) + k(x) - f(-x) - k(-x) = f(x) - f(-x)    + k(x)  - k(-x)

                 = G(f) (x) + G(k) (x)    =( G(f) + G(k) )(x)

           G ( n*k) = n*G(k) für n aus F5 und k aus  Map(F5,F5) klappt wohl auch.

2. f aus Kern(G) ⇔ G(f) = 0 ⇔ G(f)(x) = 0(x) für alle x aus F5

                                         ⇔ f(x) - f (-x)  = 0 für alle x aus F5

                                         ⇔ f aus  Mapeven(F5, F5)