Zeigen Sie, dass α ein Vektorraumhomomorphismus ist!

Question

Seien K ein Körper und V ein K-Vektorraum.

Sei λ ∈ K fest und sei α : V → V eine Abbildung, für alle v ∈ V ist v^α := λ · v. Zeigen Sie, dass α
ein Vektorraumhomomorphismus ist!

Answer 1

Du musst doch nur zeigen:

α(v+w)=α(v)+α(w)  und α(x*w)=x*α(w).

Comments

Bin ein wenig verunsichert, für mich sieht das genauso aus wie eine der Vektorraumhomomorphismuseigenschaften.

Naja ich hab es einfach mal versucht einzusetzen:

v^α := λ · v

zz. α: V→V mit v^α := λ · v

Für alle v₁,v₂ ∈ V gilt: (hab statt dem "w" ein "v₂"genommen da ja V→V)

(v₁)^α + (v₂)^α = (v₁+v₂)^α = (λ₁v₁+λ₂v₂) =(λ₁v₁) + (λ₂v₂) = (v₁)^α + (v₂)^α

und für alle v ∈ V und λ ∈ K gilt:

(λ(v))^α = (λv)^α = (λ²v) = λ(λv) = (λ(v))^α

und somit Vektorraumhomo... ?

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"Bin ein wenig verunsichert, für mich sieht das genauso aus wie eine der Vektorraumhomomorphismuseigenschaften."

Na klar, du sollst ja zeigen, dass diese Eigenschaft zutrifft.

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Begründet was ich da hingeschrieben habe dies?^^

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Du hast das allerdings nicht sehr

deutlich argumentierend notiert:

etwa so :

((v1+v2)^α  Das Alpha wird auf v1+v2 angewandt,

und es gibt ein festes Lambda, also

= λ*(v1+v2)   Dann Distributiv

=λ*v1 + λ*v2 Dann Abbildungsdef. rückwärts anwenden

 = (v1)^α + (v2)^α.

Versuche die andere Eigenschaft auch mal entsprechend.