Was besagt mir die erste Ableitung?

Question

ich verstehe noch nicht so genau was mir die erste Ableitung einer Funktion sagen soll, natürlich verstehe ich den Sinn dahinter (hoffe ich). Mag natürlich interessant sein zu wissen ob eine Funktion bei x = 15 Steigt oder nicht aber kann daraus:

a => auf den allgemeinen Graphen schließen (also x^2)?

b => auf die Werte auf der Y-Achse schließen?

Beispiel bei dieser einfachen Funktion: f(x) = x^2 , 1 Ableitung f'(x)=2x

Folge ich nun der Parabel (Graphen) bei x = 3 also 3^2 komme ich auf y = 9
Rechne ich nun aber 2x also 2*3 bekomme ich 6 und nicht 9.

Nehme ich nun x = 6 also 6^2 = 36 und bei der Ableitung kommt 12 heraus.. also wem bringt das wissen über die Steigung etwas? Vielleicht ein einfaches Beispiel würde mir den letzten "Tritt" verpassen das ganze zu schnallen :)

Danke und lg

Answer 1

Folge ich nun der Parabel (Graphen) bei x = 3 also 3² komme ich auf y = 9

Richtig, also geht die Parabel durch P(3/9)

Rechne ich nun aber 2x also 2*3 bekomme ich 6

und die 6 ist Steigung der Tangente im Punkt P.

Zeichen das mal, dann klingelt es.

Answer 2

ich verstehe noch nicht so genau was mir die erste Ableitung
einer Funktion sagen soll

Die 1.Ableitung ist die Funktion der Steigung.

Die Steigung kann posiriv, negativ und 0 sein.

Am Extrempunkt einer Funktion ist die Steigung 0.
Setze ich die 1.Ableitung 0 kann ich die x-Stelle des Extrempunkts
berechnen.

f ( x ) = 2 * x^2 + 8 *x
1.Ableitung
f ´( x ) = 4 * x + 8
Extremstelle
4 * x + 8 = 0
x = - 2
f ( -2 ) = 2 * (-2)^2 + 8 * (- 2 )
f ( -2 ) = -8

E ( -2 | -8  ) Tiefpunkt

~plot~  2 * x^2 + 8 *x ; { -2 | -8 } ; [[ -3 | 3 | -10 | 15 ]] ~plot~

Answer 3

Um von der Ableitung auf den Ursprungsraphen zu schließen musst du integrieren, bzw. die Stammfunktion bilden.

Willst du beispielsweise f '(x)=2x integrieren, so wendest du die Potenzregel an und erhältst als

Ursprungsfunktion

f (x) = 2* 1/(1+1)*x¹⁺¹ = 2/2*x² = x²

Du kannst also mit der ABleitung ganz einfach die Ursprungsfunktion berechnen.

Hier ein Link:

https://www.matheretter.de/wiki/integrationsregeln