Mittelwert mit Integral bei einer Kostenfunktion, Grenzen seltsam/unklar

Question

Normalerweise habe ich bei der Integralrechnung keine Probleme, jetzt hat unser Lehrer ein Aufgabenblatt mit Lösungen für die nächste Klausur erstellt, und dort (wie auch im Bsp. im Lambacher Schweizer für Kursstufe) gibt es allerdings eine Lösung, bei der ich nicht durchblicke.

Produktion eines Werkstücks mit der Funktion f(x) ist gegeben. Nun soll ich den Mittelwert mithilfe des Integrals (durchschnittlicher Preis) ausrechnen für 400 Stück. Normalerweise kein Thema:

$$\frac { 1 }{ b-a } \int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) \quad dx } $$

für a (untere Grenze) hätte ich nun 0 genommen, für b (obere Grenze) die 400.

Nun sagt mir das Lösungsblatt aber, ich muss für a = 0,5 und für b= 400,5 nehmen. Warum?!?!? Im LS gibt es da ein Bsp. dazu, wo es auch so gemacht wurde, aber es wird nicht erklärt warum. Bei allen bisherigen Mittelwerten  musste ich die 0,5 nie dazurechnen. Ist das eine Besodnerheit der Kostenfunktion?

Vielen Dank schonmal! :-)

Answer 1

Das ist die stetige Ergänzung. f(x) ist der Preis bei Herstellung von x ME. Nun gibt es da ja theoretisch nur ganzzahlige Werte. Also 1, 2, 3 etc. Du hast aber eine Stetige Funktion. Und dort geht die 1 von 0.5 bis 1.5

Möchtest du den Preis für 1 ME haben musst du eigentlich von 0.5 bis 1.5 integrieren. Dabei ist die Rechnung über das Integral eh nur näherungsweise.

Wenn du das Integral also in den Grenzen von 0 bis 400 nimmst ist das nicht sehr tragisch. Die Abweichung dürfte kaum ins Gewicht fallen.

Comments

Die stetige Ergänzung wirst dir später nochmal in der Stochastik begegnen, wenn man die diskrette Binomialverteilung durch die stetige Normalverteilung annähert.

Du könntest diese stetige Ergänzung auch eigentlich noch öfter anwenden als wie es gemacht wird. Aber meist wird es auch Vereinfachungsgründen immer nicht gemacht.

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Ist eig. logisch mit den ganzen Stückzahlen :-)