Geben Sie nichtleere Mengen A und B mit A ⊆ B ⊆ Q mit den folgenden Eigenschaften an:

Question

Es seien A, B nichtleere Teilmengen von R mit A ⊆ B. Die Menge A heißt nach oben beschränkt in B, falls es ein Element b ∈ B mit a ≤ b für alle a ∈ A gibt. In diesem Fall ist b eine obere Schranke für A in B. Falls es eine kleinste obere Schranke für A in B gibt, ist diese das Supremum für A in B und wird mit supB A bezeichnet.

Geben Sie nichtleere Mengen A und B mit A ⊆ B ⊆ Q mit den folgenden Eigenschaften

an:

(a) A ist nach oben beschränkt in Q aber nicht nach oben beschränkt in B;

(b) A ist nach oben beschränkt in B, supQ A existiert aber supB A existiert nicht; 

(c) A is nach oben beschränkt in B, supB A existiert aber supQ A existiert nicht; 

(d) supB A und supQ A existieren aber sind nicht gleich. 

Answer 1

a) A = B = {x∈ℚ | x < 0}

b) A = {x∈ℚ | x < 0}, B = A ∪ {x∈ℚ | x > 0}

c) A = {x∈ℚ | x² < 2}, B = A ∪ {3}

d) A = {x∈ℚ | x < 0}, B = A ∪ {1}