Finde zwei Teilmengen A, B ⊆ ℝ mit folgenden Eigenschaften:

Question

Aufgabe:

Wir betrachten ℝ mit der üblichen Metrik.

Finde zwei Teilmengen A, B ⊆ ℝ mit folgenden Eigenschaften:

A und B sind abgeschlossen

A ∩ B = ∅

d(A,B) = 0

Problem/Ansatz:

Mein Gedanke wäre, dass A und B leere Mengen sind. Da ja die Schnittmenge die ∅ sein soll und aus d(A,B) = 0⇔ A=B folgt? Oder liege ich da falsch?

Comments

Hallo,

ob d(A,B) als definiert gilt, wenn eine der Mengen die leere Menge ist, weiß ich nicht.

Jedenfalls gilt für A=[0,1] und B=(1,2): d(A,B)=0 und \(A \cap B= \emptyset\)

Wenn man jedenfalls verlangt, dass A und B zusätzlich nichtleer sind, dann muss man sich etwas einfallen lassen.

Gruß

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B ist doch dann nicht abgeschlossen?

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Das ist mir klar. Ich wollte nur noch einmal (zur Sicherheit) erwähnen, dass aus d(A,B)=0 im allgemeinen nicht folgt, dass A und B gemeinsame Punkte haben.

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Was wäre ein ein solches Beispiel wo das zu trifft?

Answer 1

Hallo,

wie wäre es mit

$$A= \mathbb{N} \text{  und } B:=\{n+\frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}\}$$

Comments

Unter der Voraussetzun, dass ℕ ohne der Null definiert ist?

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jawohl, sonst wäre die Definition von B flasch