Teilmengen von R^2 auf Eigenschaften untersuchen

Question

Text erkannt:

(b) \( B=\left\{\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \in \mathbb{Q}^{2}:\left\|\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)\right\| \leq 3\right\} \)

Aufgabe:

Untersuche die Teilmengen von R^2  auf Kompaktheit Abgeschlossenheit Beschränktheit und Offenheit.

Problem/Ansatz:

Ich habe mit der Betrachtung von Aufgabe b) begonnen und bin neu in diesem Thema, sind meine Aussagen korrekt und falls ja wie kann ich sie beweisen?

Da das sup{x} kleiner gleich 3 gegeben ist die Menge beschränkt aber nicht offen da sie nicht gegen unendlich strebt?

Die Teilmenge ist nicht abgeschlossen da das Komplement nicht in ihr enthalten ist?

Answer 1

Da die Norm aller Elemente kleiner gleich 3  ist,

ist die Menge beschränkt.

Abgeschlossen auch, da das Komplement offen ist.

Im Komplement sind alle (x,y) mit

$$\left\|\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)\right\| > 3$$

Und zu jedem solchen Punkt, gibt es auch eine ganze Umgebung

für deren Elemente das gilt.

nicht offen, da z.B. (0;3) keine Umgebung hat, in der

$$\left\|\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)\right\| \leq 3$$

gilt. Betrachte ( 0; 3+ε).

kompakt, weil beschränkt und abgeschlossen.

Comments

Danke für deine Antwort!
Da <= 3 gilt ist die Menge doch lediglich nach oben beschränkt, oder liege ich da falsch? Kann man in diesem Fall die gesamte Menge als beschränkt ansehen? LG