stochastische Unabhängigkeit, würfel

Question

Ein Würfel in Form einer dreieckigen Pyramide hat 4 gleich große Flächen mit den Zahlen 1 ; 2 ; 3; 4 (4rer- Würfel).
Der Würfel wird zweimal geworfen. Folgende Ereignisse werden definiert:
A: Beim 1. Wurf erscheint die Zahl 1 oder 2 und beim 2. Wurf die Zahl 1 ; 2 oder 4.
B: Die Zahl beim 2. Wurf ist eine andere als beim 1. Wurf.
Untersuchen Sie, ob die Ereignisse A und B voneinander unabhängig sind.

Kann mir das bitte jemand erklären. Ich komme weiß nur, dass die Wahrscheinlichkeit 1/4 beträgt also bei jedem neuen Würfeln. Ich verstehe das einfach nicht.

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Ein Würfel in der Form einer dreieckigen Pyramide hat 4 gleich große Flächen mit den Zahlen 1,2,3 und 4. Der Würfel wird zweimal geworfen. Folgende Ereignisse werden definiert:

A:Beim ersten Wurf erscheint die Zahl 1 oder 2 und beim zweiten Wurf die Zahl 1,2,3, oder 4.

B: Die Zahl im zweiten Wurf ist eine andere als im ersten Wurf.

Untersuche, ob die Ereignisse a und voneinander abhängig sind.

ich habe die Frage schonmal gestellt, aber ich habe es immer noch nicht verstanden.

Kann mir das jemand explizit erklären?

A: sind das nicht 8 Möglichkeiten, die gehen würden 1;1  1;2   1;3    1;4    2;1    2;2     2;3      2;4

B: müssten 6 Möglichkeiten sein oder? : 1,2   1,3   1,4    2,1   2,3  2,4

weiter komme ich nicht. könnt ihr mir bitte das ausführlich erklären? ich kann auf eure Antworten als Gast leider nicht kommentieren.

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> A: sind das nicht 8 Möglichkeiten, die gehen würden 1;1  1;2   1;3    1;4    2;1    2;2     2;3      2;4

Bei 1;3 fällt im zweiten Wurf weder eine 1, noch eine 2, noch eine 4. Der Wurf 1;3 gehört also nicht zu A.

> B: müssten 6 Möglichkeiten sein oder? : 1,2   1,3   1,4    2,1   2,3  2,4

Bei den Würfen 1;1, 2;2, 3;3, 4;4 fällt bei beiden Würfen die gleiche Zahl. Alle anderen Würfe gehören zu B.

> Zähle wieviele Ergebnisse es insgesamt sind.

Wieviele mögliche Ergebnisse hast du insgesamt ermitteln können?

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zu A: ich habe mich bei der Aufgabenstellung verschieben. Die 3 gehört in die Aufgabenstellung:

Ein Würfel in der Form einer dreieckigen Pyramide hat 4 gleich große Flächen mit den Zahlen 1,2,3 und 4. Der Würfel wird zweimal geworfen. Folgende Ereignisse werden definiert:

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Dann ist A richtig.

Du musst B noch korrigieren und bestimmen wieviele Ergebnisse es insgesamt gibt.

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Bei A ist das 8/8 die Wahrscheinlichkeit? Es gibt nämlich auch nur 8 Mögl.
 
und

bei B ist doch eine ander Zahl als ist ersten Versuch vorhanden. Aber da gibt es nur die 1 oder 2. Wie kannst Du da 3,3 und 4,4 in Betracht ziehen

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> Es gibt nämlich auch nur 8 Mögl.

Kann gar nicht sein. In A alleine sind ja schon 8 Ergebnisse. Und da taucht die 3;4 gar nicht auf.

> als ist ersten Versuch vorhanden. Aber da gibt es nur die 1 oder 2. Wie kannst Du da 3,3 und 4,4 in Betracht ziehen.

A und B sind nicht unterschiedliche Versuche. A und B sind unterschiedliche Ereignisse, die bei dem selben Versuch eintreten können. Kann man sich ungefähr so vorstellen:

• A: morgen wird es regnen
• B: morgen wird die Temperatur unter 10 °C sinken.

Ist auch der selbe Versuch (Wetter von morgen). A und B können gleichzeitig eintreten (mit Wahrscheinlichkeit P(A∩B)). Wenn es morgen regnet, wie Wahrscheinlich ist es dann, dass die Temperatur auch unter 10°C sinkt: P_A(B).

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ich komme einfach nicht drauf. wie viele möglichkeiten gibt es denn jetzt?

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Kommt bei P(A) = 8/16 raus?

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Es kommt P(A) = 8/16 raus.

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Aber bei der 16 wie kommt man da drauf. Aufgrund der Anzahl der Ereignisse beim 1. und 2. Versuch ?

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Es gibt keinen 1. und 2. Versuch. Es gibt einen einzigen Versuch. Der Versuch besteht daraus, das zwei Würfel geworfen werden.

Auf die 16 kommt man indem man die Tabelle zuende ausfüllt, die ich in meiner Antwort schon ein mal angefangen habe.

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Bei P (B) kommt 12/16 raus stimmts?

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& die Tabelle, die Du mir unten geschickt hast, geht bis Nr. 16 oder?

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> Bei P (B) kommt 12/16 raus stimmts?

Ja.

> & die Tabelle, die Du mir unten geschickt hast, geht bis Nr. 16 oder?

Ja.

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Ist P(A∩B) 6/16 d.h. 6/16 : 1/2 =  3/4

also unabhängig?

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Das ist richtig.

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Ich habe alles soweit so gut dank Dir hinbekommen. Mich wundert es aber nur, dass  ich in der Tabelle beim 1.Wurf sogar die Ereignisse für 3 und 4 aufgeschrieben habe. Das ist mir immer noch unklar also 3,1  3,2  3,3 3,4, 4,1 etc... beim 1.Wurf, weil in der Textaufgabe stand ja beim ersten Wurf erschient die Zahl 1 oder 2.                                  3  und 4 war gar nicht die Rede.

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> Ein Würfel in Form einer dreieckigen Pyramide hat 4 gleich große
> Flächen mit den Zahlen 1 ; 2 ; 3; 4 (4rer- Würfel). Der Würfel wird
> zweimal geworfen.

Das ist das einzige, was interessiert wenn es darum geht, zu bestimmen welche Ergebnisse möglich sind.

> A: Beim 1. Wurf erscheint die Zahl 1 oder 2 und beim 2. Wurf
> die Zahl 1 ; 2 oder 4.

Das interessiert erst dann, wenn es darum geht zu entscheiden welche Ergebnisse günstig sind.

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Ich habe darauf gar nicht geachtet, sondern nur auf A  auf die 1 und 2. Die 3 und 4 habe ich dabei glatt übersehen "mit den Zahlen 1 ; 2 ; 3; 4".

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das mit der 1 und 2 war wohl für P (A∩B) wichtig oder?

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Ja, weil A für P(A∩B) wichtig ist.

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Danke, jetzt habe ich es endlich begriffen. Ich habe immer so einiges vertauscht.

Answer 1

Schreibe alle möglichen Ergebnisse hin, also

Nr.	Erster Wurf	Zweiter Wurf
1.	1	1
2.	1	2
3.	1	3
4.	1	4
5.	2	1
6.	2	2
...	...

Zähle wieviele Ergebnisse es insgesamt sind.

Suche aus allen Ergebnissen die aus, die in A enthalten sind, bei denen also der erste Wurf 1 oder 2 ist und der zweite Wurf 1, 2 oder 4. Zähle wieviele das sind und teile durch die Gesamtzahl der Ergebnisse. Dadurch bekommst du die Wahrscheinlichkeit P(A), dass A eintritt.

Suche aus allen Ergebnissen die aus, die in B enthalten sind, bei denen also im ersten und im zweiten Wurf unterschiedliche Zahlen fallen. Zähle wieviele das sind und teile durch die Gesamtzahl der Ergebnisse. Dadurch bekommst du die Wahrscheinlichkeit P(B), dass B eintritt.

Suche aus allen Ergebnissen die aus, die sowohl in A als auch in B enthalten sind. Zähle wieviele das sind und teile durch die Gesamtzahl der Ergebnisse. Dadurch bekommst du die Wahrscheinlichkeit P(A∩B), dass sowohl A als auch B eintritt.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit P_A(B) gibt an, wie wahrscheinlich B eintritt, wenn man sich auf die Fälle beschränkt, in denen A eingetreten ist. Sie wird berechnet mittels P(A∩B)/P(A).

Die Ereignisse A und B sind unabhängig, wenn P_A(B) = P(B) ist. Anschaulich gesprochen, das Wissen darüber, ob A eingetreten ist oder nicht, ändert nichts an der Einschätzung, wie wahrscheinlich B ist.