Wie gross ist der Flächeninhalt von PQRS und von P'Q'R'S' (Berechnung mit Hilfe Matrizenrechnung)?

Question

Hallo

Wie löst man folgende Aufgabe:

Wie gross ist der Flächeninhalt von PQRS und von P'Q'R'S' (Berechnung mit Hilfe Matrizenrechnung)?

P(2,3), Q(-3,2), R(-2,-2), S(3,-1)

Danke

Answer 1

Gegeben sind zwei Punkte A(a_x, a_y) und B(b_x, b_y). Der Vektor von A nach B ist dann (b_x-a_x b_y-a_y)^T

Gegeben sind zwei Vektoren V = (a b)^T und W = (c d)^T. V und W sind senkrecht zueinander, wenn ac + bd = 0 ist.

Gegeben sind zwei Vektoren V = (a b)^T und W = (c d)^T. V und W sind parallel zueinander, wenn es eine Zahl r gibt, so dass (a b)^T = (rc rd)^T ist.

Gegeben ist ein Vektoren V = (a b)^T. Die Länge des Vektors V ist √(a² + b²).

Damit kannst du die Art des Vierecks bestimmen, also ob es sich um ein Rechteck, ein Quadrat, Trapez, Parallelogram, Raute, Rombus handelt. Das solltest du zuerst machen. Anhand der Art des Vierecks kannst du dann etnscheiden, was für Angaben du brauchst um den Flächeninhalt zu bestimmen.

Bei dem Viereck P'Q'R'S' läuft der Rechenweg genauso, nur dass du anstatt der Punkte P, Q, R und S die Punkte P' Q', R' und S' verwendest.

Answer 2

#    1          2           3            4

P(2,3), Q(-3,2), R(-2,-2), S(3,-1) ist Beispiel 75 des universal Plotters mit 4 Punkten:

http://www.gerdlamprecht.de/Liniendiagramm_Scientific_plotter.htm

§75 aB=Array(2,-3,-2,3);aC=Array(3,2,-2,-1); 

Lösung 1: http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

Funktion Dreiecksberechnungen

 2 Dreiecke (zunächst die ersten 3 Punkte; z=0 also |0  kann man auch weglassen):

2|3|0

-3|2|0

-2|-2|0

A=sqrt((s=U/2)*(s-a)*(s-b)*(s-c))=10.5

Dann ohne den 2. Punkt, dafür den letzten:

2|3|0

-2|-2|0

3|-1|0

A=sqrt((s=U/2)*(s-a)*(s-b)*(s-c))=10.5

A_ges=10.5+10.5=21

Lösung 2: 

http://mathworld.wolfram.com/PolygonArea.html

Polygonfläche ist die Hälfte der Summe der Determinanten, was zur Gaußsche Trapezformel führt:

https://en.wikipedia.org/wiki/Shoelace_formula

A=abs(x1y2+x2y3+x3y4+x4y1-x2y1-x3y2-x4y3-x1y4)/2

A=abs(2*2 +3*2 +2*1 +3*3 +3*3 +2*2 +3*2 +2*1)/2=21