Eine Menge zeichnen, komplexe Zahlen: M := {z e C |Im (z)^4 /Re (z)^4 >= 16} ∩ {z e C | |Re (z)| + |Im (z - 4i)| <= 4}

Question

Ich soll folgende Menge zeichnen und stehe auf dem Schlauch.

M := {z e C |Im (z)^4 /Re (z)^4 >= 16} ∩Schnittmenge {z e C | |Re (z)| + |Im (z - 4i)| <= 4}

Wäre super wenn jemand helfen könnte

Ausserdem die alle z e C für:

z^6 − 4z^4 = (z 2 − 4)i 

wäre toll wenn jemand helfen könnte

Answer 1

 {z e C | |Re (z)| + |Im (z - 4i)| <= 4} 

z= x + iy

|x| + | Im(x+iy-4i) | ≤ 4

|x| + | y-4| ≤ 4 

Ich zeichne dir das mal mit https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cx%7C+%2B+%7C+y-4%7C+≤+4 

Überlege dir, weshalb diese Menge so aussieht.

Danach kannst du dich um die anderen Mengen kümmern. 

Du weisst bei der ersten bereits, in welchem Bereich y und x bei der Schnittmengenbildung liegen können (spart vielleicht Teil einer Fallunterscheidung). 

Comments

für das 2. bekomme ich y <= - x + 8

Fallunterscheidung:

1. -x/-y: y >= -x -8
2. -x/y: y <= 8+x
3. x/ -y: y >= -8-x

also eine Raute. Das konnte ich nachvollziehen.

für das erste:

y^4 / x^4 >= 16

y^4 >= x^4 * 2^4

y^4 >= (2x)^4

y >= 2x

Das wäre ja dann eine Gerade oder? Was mache ich mit dem Fall x= 0 der ja in  der in der Ungleichung y^4 / x^4 >= 16 verboten ist? 

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Achtung:

Im (z)⁴ /Re (z)⁴ >= 16

und

(Im (z))⁴ /(Re (z))⁴ >= 16. 

ist wohl nicht dasselbe. 

Nur im 2. Fall kannst du direkt y^4 / x^4 ≥ 16 hinschreiben. 

Answer 2

Hi!

Bei

z⁶ − 4z⁴ = (z 2 − 4)i  

meinst du wohl:

z⁶ − 4z⁴ = (z² − 4)i   |-iz²+4i

->z⁶-4z⁴-iz²+4i=0      

Substitution:

sei x=z²

x³-4x²-ix+4i=0          | Durch Probieren oder ein geschärftes Auge ergibt sich schonmal eine                                        Nullstelle bei x=4

Damit kann man eine Polynomdivison durchführen:

(x³-4x²-ix+4i):(x-4)=x² -i

also gilt:

x²=i       |√

x=±√i

Die Substitution gab uns also die Lösungen:

x=4, und x=±√i

Resubstitution:

x=z² =4              |√ 

     z=±2

x=z²=√i           |√

  z=±√√(i) =±⁴√i

x=z²= -√i          |√

  z=±√(-√i)