Die Reihe Σ_{k=1}^{n} 1/k² n ≥ 1 ist monoton wachsend und beschränkt. Warum?

Question

Die Reihe $$\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ k^{ 2 } }  } \quad ,n\ge 1,$$ ist monoton steigend und beschränkt, da $$0\le \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } \le \frac { 1 }{ n(n-1) }. $$

Ich verstehe einfach nicht woher dieser Vergleich kommt. Warum n(n-1) und nicht n(n+1)?

Comments

Wird, wie hier, der Nenner verkleinert, wird der Bruch größer.

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Stimmt...

Und ich wähle genau diesen Bruch, weil ich daraus die Teleskopsumme formen kann?

Answer 1

"weil ich daraus die Teleskopsumme formen kann?"

Ja. Das ist die Absicht hinter diesem Ansatz. Damit kommst du zu einer oberen Schranke für die Reihe.

Die Monotonie hast du schon, wenn du hinschreibst, dass für die Partialsummenfolge gilt

s_(n+1) = s_(n) + 1/(n+1)^2 und

1/(n+1)^2 > 0.