Folge: f_{n}(x) =Σ_{k=0}^{n} (x^2)/((1+x^2)^k) (Geometrische Reihe)

Question

Folge:

$$ f_{n}(x) = \sum \limits_{k=0}^{n} \frac{x^2}{(1+x^2)^k} $$ (Geometrische Reihe)

Wenn ich jetzt diese Reihe umschreibe in die Form $$ \frac { 1-q^{ n+1 } }{ 1-q } $$, wie man das für geometrische Reihen machen kann, weiß ich doch, wenn man nun den Grenzwert betrachtet:

1. dass die Reihe punktweise konvergiert, falls der Grenzwert existiert, und wie dieser aussieht

und

2. dass wenn ich gleichmäßige Konvergenz widerlegen soll die Unstetigkeit der Funktion $$ { f }_{ n }(x)=f(x) \text{ für }  n\to\infty $$ genügt.

Mein berechneter Grenzwert ist f(x)=1 und diese Funktion ist eindeutig stetig.

Answer 1

$$  \sum_{k=0}^n \frac{x^2}{(1+x^2)^k} = x^2  \frac{ 1 - \left( \frac{1}{1+x^2} \right)^{n+1} }{1-\frac{1}{1+x^2}} = 1 + x^2 -\left( \frac{1}{1+x^2} \right)^n $$

Comments

Wie hast du denn den Term umgeformt, dass dann das Ergebnis dort steht?

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Hab meinen Fehler. Hab ein Vorzeichen verdreht.

Jedoch ist der Grenzwert davon x^2+1 und dieser ist auch eindeutig stetig.

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Es gibt keinen stetigen Grenzwert! Das ist nur ein Wert.

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Warum gibt es denn keinen Grenzwert? Ich kann doch die Summe für n=∞ betrachten und muss dann den limes n->∞ ausrechnen. Das Ergebnis davon wäre doch der Grenzwert.

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Vielleicht habe ich Dich falsch verstanden. Wenn Du meinst, dass die Funktion, gegen die die Summe konvergiert eine stetige Funktion ist, dann hast Du recht. Und da \( \frac{1}{1+x^2} \) immer \( < 1 \) für \( x > 0 \) ist konvergiert die Summe auch gegen \( 1 + x^2 \) Für \( x = 0 \) kann man sich das auch überlegen.

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Der Punkt ist nun einmal der, dass ich zeigen möchte, dass die Reihe nicht gleichmäßig konvergiert. Ein Kriterium dafür ist die Unstetigkeit des Grenzwertes bzw. der Grenzfunktion, die jedoch stetig ist.

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Wir sollten jetzt mal klären, auf welcher Menge die gleichmäßige Konvergenz oder nicht Konvergenz nachgewiesen werden soll. Auf ganz \( \mathbb{R} \)?

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x ist aus dem Intervall [-1;1]

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Wähle z.B. \( \epsilon = \frac{1}{2} \) dann müsste es bei gleichmäßiger Konvergenz ein \( n_0 \in \mathbb{N} \) geben, s.d. für alle \( n > n_0 \) und für alle \( x \in [-1 \ , 1 ] \) gilt, \( |f_n(x) -f(x)| < \epsilon \) mit \( f_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{x^2}{(1+x^2)^k} \) und \( f(x) = 1+x^2 \)

Für \( x = 0 \) gilt aber \(  |f_n(x) -f(x)| = 1 > \epsilon \), also ist die Funktionenfolge \( f_n \) nicht gleichmäßig konvergent.

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Das wäre doch dann das Cauchy-Kriterium?

Meine Idee wäre den Weierstraßschen M-Test anzuwenden oder gilt der nur in eine "Richtung"?

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Der Punkt ist nun einmal der, dass ich zeigen möchte, dass die Reihe nicht gleichmäßig konvergiert. Ein Kriterium dafür ist die Unstetigkeit des Grenzwertes bzw. der Grenzfunktion, die jedoch stetig ist.

Vielleicht schreibst Du die Grenzfunktion mal explizit hin. Die ist nicht stetig.

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Die Grenzfunktion lautet f(x)=x^2+1

Die Funktion ist als Polynom stetig.

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Die Grenzfunktion lautet f(x)=x²+1

Nein, tut sie nicht. Und wenn Du das irgendwann auch merkst, hast Du die Aufgabe geloest -- und zwar gerade so, wie Du das von Anfang an wolltest. :)

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Bis ich die angeblich richtige Grenzfunktion gefunden habe, ist es morgen.

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Wenn Du den Grenzübergang für \( n \to \infty \) machst, bekommst Du folgende Funktion

$$ f(x) = \begin{cases} 1 + x^2, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases} $$ und die ist nicht stetig in \( x = 0 \)

Bei meinem Post habe ich genau diese Eigenschaft benutzt um zu zeigen, dass keine gleichmäßige Konvergenz vorliegt. Aber nicht mit dem Cauchy Kriterium sondern mit der Definition von gleichmäßiger Konvergenz.

Manche hier im Forum sind aber nicht sehr hilfreich und behalten ihr Wissen lieber für sich und schreiben lieber kriptische Hinweise die manchmal schwerer zu verstehen sind als die Aufgabe.