Wie berechne ich die Werte a und b für die Bildung der Stammfunktion einer e-Funktion ohne Partielle Integration?

Question

Berechne die reellen Werte von a und b so, dass die Funktion

F (x) = ( -0,5x^2 + ax + b) * e ^ - 0,5 x   eine Stammfunktion von f  wird.

f (x) = (1/4 x ^2 + x + 2) * e ^ - 0,5 x

Die Integration soll nicht durch eine Partielle Integration zerlegen.

--> Ich würde hier einen Koeffizientenvergleich machen, also die einzelnen Koeffizienten von F (Stammfunktion) und f (Funktion) miteinander vergleichen und dann a und b ausrechnen.

Allerdings bin ich mir nicht ganz sicher.

Dankeschön für eure Antworten.

Comments

Was meinst du damit ?

Die Integration soll nicht durch eine Partielle Integration zerlegen.

Der Kommentar wurde zurückgenommen.

Answer 1

Also darf F differenziert werden
F (x) = ( -0,5x² + ax + b) * e ^{- 0,5 x}  

F ´( x ) = ( -0.25 * x^2 + 0.,5 *a * x - a + 0.5 * b - a ) * e^{-0.5*x}
f (x) = (1/4 x ² + x + 2 ) * e ^ - 0,5 x

0.,5 *a * x = x
- a + 0.5 * b - a = 2

0.,5 *a * x = x
0.5 * a = 1
a = 2

- a + 0.5 * b - a = 2
-2 + 0.5 * b - 2 = 2
-4 + 0.5 * b = 2
b = 12

Probe
F (x) = ( -0,5x² + ax + b) * e ^{- 0,5 x}  
F (x) = ( -0,5x² + 2*x + 12) * e ^{- 0,5 x}  
F ´( x ) = ( -0.25 * x^2 + 2 * x + 4 ) * e ^{- 0,5 x}  
f  ( x ) = ( 1/4 x ² + x + 2 ) * e ^ - 0,5 x

Paßt noch nicht so ganz.

Will jetzt erst aber einmal fernsehen schauen.

mfg Georg

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Also nur ein Rechenfehler

F ´( x ) = ( -0.25 * x² + x + 0.5 * a * x + 0.5 * b - a ) * -e^-0.5*x
F ´( x ) = ( -0.25 * x² + x * ( 0.5 *a + 1 ) + 0.5 * b - a ) * -e^-0.5*x
F ´( x ) = ( 0.25 * x² - x * ( 0.5 *a + 1 ) - 0.5 * b + a ) * e^-0.5*x

f (x) = (1/4 x ² + x + 2 ) * e ^ - 0,5 x

- x * ( 0.5 *a + 1 ) = x
- 0.5 * a  - 1 = 1
a = -4

- 0.5 * b + a = 2
-0.5 * b + (-4) = 2
-0.5 * b = 6
b = -12

F ´( x ) = ( 0.25 * x² - x * ( 0.5 *a + 1 ) - 0.5 * b + a ) * e^-0.5*x
F ´( x ) = ( 0.25 * x^2 - x * ( 0.5 * (-4) + 1 ) - 0.5 * (-12) + (-4) ) * e^{-0.5*x}
F ´( x ) = ( 0.25 * x^2 + x + 2 ) * e^{-0.5*x}
stimmt mit f überein

Answer 2

Du darfts nicht die Koeffizienten der Stammfunktion mit den Koeffizienten von \( f(x) \) vergleichen sondern Du must die Koeffizienten der abgeleiteten Stammfunktion mit den Koeffizienten von \( f(x) \) vergleichen, denn es gilt doch \( F'(x) = f(x) \) weil ja \( F(x) \) Stammfunktion von \( f(x) \) ist. Heraus kommt \( a = -4 \) und \( b -12 \)

Answer 3

Koeffizientenvergleich macht Sinn.

F ' (x) = ((1/4)x^2 + ( - a / 2 + 1 ) * x +  a - b/2  ) * e ^{- x / 2}

also    - a / 2 + 1  = -1 und   a - b/2  ) = 2

gibt a= -4 und  b = -12

Probe  F (x) = ( -0,5x²  - 4x  - 12  ) * e ^ - 0,5 x 

F ' (x) =  ( - x - 4  ) * e ^ - 0,5 x   + ( -0,5x²  - 4x  - 12  )*  -0,5 * e ^ - 0,5 x 

       = ( -x  - 4  +  0,25x^2 + 2x  + 6  ) * e ^ - 0,5 x 

       = (  0,25x^2 + x  + 2  ) * e ^ - 0,5 x

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Dankeschön. Ich denke, das wird mir helfen

Answer 4

Es darf prinzipiell alles gemacht werden - außer partielle Integration - um die Werte a und b zu bestimmen.

Meine Idee wäre der Koeffizientenvergleich. Aber wie gehe ich hier am besten vor?