Beweise zu sinh und cosh: Sind differenzierbar, Ableitungen, Additionsthoereme.

Question

Ich verstehe diese Aufgabe nicht,

Die Funktionen sinh, cosh: ℝ → ℝ sind definiert durch \( sinh(x) = \frac{exp(x) - exp(-x)}{2} \) und \( cosh(x) = \frac{exp(x) + exp(-x)}{2} \). Sie werden sinus hyperbolicus und cosinus hyperbolicus genannt.

1. Beweisen Sie, dass sinh und cosh differenzierbar sind.

2. Berechnen Sie die Ableitungen von sinh und cosh.

3. Beweisen Sie: cosh(x+y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y) für alle x,y ∈ ℝ.

4. Beweisen Sie: sinh(x+y) = cosh(x) sinh(y) + sinh(x) cosh(y) für alle x,y ∈ ℝ.

5. Beweisen Sie: cosh²(x) - sinh²(x) = 1 für alle x ∈ ℝ.

Comments

Welches Wort verstehst du denn nicht?

Answer 1

1. Sätze über Summe etc. diffb. Funktionen.

2.  sinh ' (x) = (e^x  - (-1) * e^-x  ) / 2 = (e^x  + e^-x  ) / 2 = cosh(x)

ebenso cosh ' (x) = sinh (x)

3. cosh(x)*cosh(y) + sinh(x)*sinh(y)

   = ((e^x  + e-x  ) / 2) * ((e^y  + e^-y  ) / 2 ) + ((e^x  - e-x  ) / 2) * ((e^y  - e-y  ) / 2 )

= (  e^x *e^y  + e^x *e^-y +   e^-x *e^y  + e^-x *e^-y  )/4 +  (  e^x *e^y  - e^x *e^-y -   e^-x *e^y  + e^-x *e^-y  )/4

= (  e^x *e^y  + e^x *e^-y +   e^-x *e^y  + e^-x *e^-y  +  e^x *e^y  - e^x *e^-y -   e^-x *e^y  + e^-x *e^-y  )   /4

= (  2e^x *e^y  +  2e^-x *e^-y   )   /4

= 2*(e^x+y + e^-x-y ) / 4

= (e^x+y + e^-(x+y) ) /  2    =  cosh(x+y)

4. wie 3.

5.    ((e^x  + e-x  ) / 2)^2 -  ((e^x  - e-x  ) / 2 )^2 

       = (  e^2x + 2e^x e^-x + e ^-2x  - (   e^2x - 2e^x e^-x + e ^-2x  ) ) / 4

  = (  e^2x + 2e^x e^-x + e ^-2x  -   e^2x  +  2e^x e^-x - e ^-2x  ) ) / 4

  = (   2e^x e^-x +  2e^x e^-x  ) ) / 4

= ( 2*1 + 2*1 ) / 4  =  1