Ableitung (arctan x)' = 1/ (1+x^2) herleiten und d/dx ln(cosh x / sinh x)

Question

Aufgabenstellung:

(a) Berechnen und vereinfachen Sie so weit wie möglich:
$$ \frac{d}{d x} \ln \left(\frac{\cosh x}{\sinh x}\right) $$
(b) Zeigen Sie
$$ (\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}} $$
nur mit Hilfe von \( (\sin x)^{\prime}=\cos x,(\cos x)^{\prime}=-\sin x, \) den bekannten Ableitungsregeln
und der Formel
$$ \cos x=\frac{1}{\pm \sqrt{1+\tan (x)^{2}}} $$

Answer 1

(tan x)' = (sin x / cos x)'        |Quotientenregel

= (cos^2 x + sin^2 x)/ cos^2 x = 1/cos^2 x

y = tan x

<==>

x = arctan y       |https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

(arctan (y)) '  = 1/ (tan x) '               |Ableitung oben!

= cos^2 x      |angegebene formel

= 1/(1 + tan^2 x)          |nun tan x durch y einsetzen

= 1/(1 + y^2)

Kurz und mit x geschrieben

(arctan x) '  = 1/(1+x^2)

d/dx ln( cosh x / sinh x) |Kettenregel benutzen

= 1/ (cosh x /sinh x) * (cosh x / sinh x) '
= ((sinh x) / (cosh x )) * ((sinh^2 x - cosh^2 x) / (sinh x)^2 )

= (1 / (cosh x )) * ((sinh^2 x - cosh^2 x) / (sinh x) )

= ((sinh^2 x - cosh^2 x) / ((sinh x)( cosh x) )

= sinh x/ cosh x - cosh x/ sinh x

(wie immer ohne Gewähr!)