warum ist -ln(coth(x))=ln(tanh(x))?
$$-ln(coth(x))= ln(1/coth(x))=ln(1/(cosh(x)/sinh(x)))=ln(sinh(x)/cosh(x))=ln(tanh(x))\\ $$
Warum ist ln(|cosh(x)|)=ln(|coth(x)|)?
Nein das gilt nicht für alle x. In der Rechnung wurde verwendet:
$$ ln(|cosh(x)|)-ln(|sinh(x)|)=ln(|\frac { cosh(x) }{ sinh(x) }|)=ln(|coth(x)|) $$
(dasselbe danach für ln(coth(1))).
Wie kommt man darauf, dass 2*sinh(τ)=√(t^2+2^2)
Es steht oben, dass t=2*cosh(τ) (beachte ich habe r=2 hier schon eingesetzt)
Setze dass in die Wurzel ein:
$$\sqrt { t^2-2^2 }=\sqrt { (2cosh(\tau))^2-4 }=\sqrt { 4(cosh(\tau)^2-1) }\\=2\sqrt { (cosh(\tau)^2-1) }=2\sqrt { sinh(\tau)^2 }=2sinh(\tau)\\\text{allgemein: hyperbolischer Pythagoras:}\\cosh(\tau)^2-sinh(\tau)^2=1 $$