r*sinh(Tau) = sqrt(t^2 - 2^2)? und ln(|cosh(x)|) = ln(|coth(x)|)?

Question

Hi Leutz,
3 Fragen habe ich da an euch.
undzwar weiss ich nicht wie der jenige hier darauf kommt das r*sinh(Tau) = sqrt(t^2 - 2^2). Der Abschnitt ist von einer größeren Aufgabe die von Integration durch Substitution handelt. PS: r = 2
Dann zu meiner zweiten Frage: 
Warum ist ln(|cosh(x)|) = ln(|coth(x)|) ?
und warum ist der -ln(coth(1)) = ln(tanh(1))
Bei beiden habe ich mir den Graphen angeschaut und irgendwie werde ich nicht daraus schlau.

Answer 1

warum ist -ln(coth(x))=ln(tanh(x))?

$$-ln(coth(x))= ln(1/coth(x))=ln(1/(cosh(x)/sinh(x)))=ln(sinh(x)/cosh(x))=ln(tanh(x))\\ $$

Warum ist ln(|cosh(x)|)=ln(|coth(x)|)?

Nein das gilt nicht für alle x. In der Rechnung wurde verwendet:

$$ ln(|cosh(x)|)-ln(|sinh(x)|)=ln(|\frac { cosh(x) }{ sinh(x) }|)=ln(|coth(x)|) $$

(dasselbe danach für ln(coth(1))).

Wie kommt man darauf, dass 2*sinh(τ)=√(t^2+2^2)

Es steht oben, dass t=2*cosh(τ) (beachte ich habe r=2 hier schon eingesetzt)

Setze dass in die Wurzel ein:

$$\sqrt { t^2-2^2 }=\sqrt { (2cosh(\tau))^2-4 }=\sqrt { 4(cosh(\tau)^2-1) }\\=2\sqrt { (cosh(\tau)^2-1) }=2\sqrt { sinh(\tau)^2 }=2sinh(\tau)\\\text{allgemein: hyperbolischer Pythagoras:}\\cosh(\tau)^2-sinh(\tau)^2=1 $$

Answer 2

undzwar weiss ich nicht, wie der jenige hier darauf kommt das r*sinh(Tau) = sqrt(t² - 2²).

t= 2 cosh(τ)

Comments

Was wäre denn r wenn unter der Wurzel statt sqrt(t^2 - 4), auf einmal sqrt(t^2 - 9) stehen würde.
Wäre r dann 3 ?