Extremwertaufgaben mit 2 unabhängigen Variablen

Question

Zerlege die Zahl 12 so in drei Summanden, dass deren Produkt ein Maximum wird.
Hinweis: x, y und 12 - (x+y) sind die drei Summanden.

Answer 1

 x, y und 12 - (x+y) sind die drei Summanden.

Zielfunktion.

f(x,y) = x*y*(12 - x -y) = 12xy - x^2 y - xy^2        

Nun davon rel. Extremalstellen bestimmen. 

Schaffst du das?

Sollen x und y positiv sein oder ist das Vorzeichen egal? 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=12xy+-+x%5E2+y+-+xy%5E2

Ein lokales Maximum solltest du finden bei x=y=4. Produkt ist dann 64.

Globales Maximum ist gemäss Bild vermutlich unendlich:

Comments

Vielen dank.
Nein dass schaffe ich leider auch nicht, hatte nicht viel mit dem Thema zu tun.
Das ist egal.

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f(x,y) = x*y*(12 - x -y) = 12xy - x² y - xy²      

Partielle Ableitung nach x

d/dx f(x,y) = 12y - 2xy - y^2 = 0     | teilen durch y, für y≠0

12 - 2x - y = 0    (I)

Partielle Ableitung nach y

d/dy f(x,y) = 12x - x^2 - 2xy = 0  | teilen durch x, für x≠0

12 -x -2y = 0   (II)

24 - 4x - 2y = 0 (I)*2

--------------------------- Subtraktion

-12 + 3x = 0

x = 4

Wegen (I) folgt 12 - 8 - y = 0, 

4 = y

3. Zahl ist dann 12 -4-4= 4.

f(4,4) = 4*4*4= 64 

dürfte ein lokales Maximum sein.

Die Fälle mit x=0 oder y=0 kommen nicht mehr in Frage, da das Produkt dann 0 geben würde, was nicht grösser ist als 64. 

Answer 2

Die Variablen sind keineswegs unabhängig voneinander. Das ist falsch. Ich hatte mit 2 Summanden gerechnet.

Comments

Roland: Es ist nach 3 Faktoren gefragt.

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Richtig ist vielmehr die folgende Überlegung: Eine vorgegebene Summe wird in drei Summanden zerlegt, deren Produkt dann maximal ist, wenn alle Summanden die gleiche Größe haben. Deshalb ist 4+4+4=12 mit 4·4·4 = 64 die Lösung.

Answer 3

Ich unterteile 12 in die Summanden a, x und y. Zunächst sei a konstant und damit

y = 12 - a - x

P = a·x·y = a·x·(12 - a - x) = - a·x^2 - a^2·x + 12·a·x

P' = - 2·a·x - a^2 + 12·a = 0 --> x = (12 - a)/2

y = 12 - a - x = 12 - a - (12 - a)/2 = (12 - a)/2

Damit muss x = y = (12 - a)/2

Damit kann ich das Produkt jetzt schreiben

P = a·x·y = a·(12 - a)/2·(12 - a)/2 = a·(a - 12)^2/4 = a^3/4 - 6·a^2 + 36·a

P' = 3/4·a^2 - 12·a + 36 = 0 --> a = 4

x = y = (12 - a)/2 = (12 - 4)/2 = 4

Damit ist 12 in die drei Summanden 4, 4 und 4 zu zerlegen damit deren Produkt maximal wird.