Extremwertaufgaben mit 2 unabhängigen Variablen: Quader

Question

Ein Quader hat das Volumen 1m³. Ermittle jene Kantenlängen, sodass die Oberfläche des Quaders minimal ist.

Comments

Mach das ähnlich wie die Aufgabe, die ich dir eben vorgerechnet habe. Wenn du das begreifst, ist diese hier ein Kinderspiel.

Hier ist klar, dass keine negativen Seiten in Frage kommen.

https://www.mathelounge.de/356117/extremwertaufgaben-mit-2-unabhangigen-variablen

Answer 1

V = a*b*c = 1    O = 2ab + 2bc + 2ac  mit   c = 1/ (ab) also

O(a,b ) = 2ab + 2/a + 2/b

partielle Ableitungen sind

dO/da = 2b - 2/a^2     dO/db = 2a - 2/b^2

wenn beide 0 sind, also

2b - 2/a^2  = 0    und     2a - 2/b^2=0

                                               a = 1 / b^2

2b - 2 / ( 1 / b^2)^2 = 0

2b - 2b^4 = 0

2b ( 1 - b^3) = 0

Da b ≠ 0 also b=1 .

a= 1 / 1^2 = 1      c = 1 / ( 1*1) = 1.

Also alle = 1.

Der optimale Quader ist der Würfel.

Answer 2

Der Quader habe die Kantenlängen a, b und c. Dann ist seine Oberfläche F = 2(ab+bc+ac) und sein Volumen 1=abc. Setze a = 1/(bc) in die Oberflächenformel ein: F(a,b)= 2(1/c+bc+1/b). Sei c = x die unabhängige Variable und b der Parameter einer Funktionenschar. Diese hat jetzt die Gleichung F_b(x)= 2(1/x+bx+1/b). Die Ortslinie aller Minima hat dann die Funktionsgleichung f(x) = 2(x+2)³/x mit dem Minimum bei x = 1. Einsetzen in die Gleichung der Funktionenschar führt zu dem term 1+b+1/b, den wir als Funktionsterm auffassen g(b) = 2(1+b+1/b). g hat ihr Minimum für b = 1.Laut Volumenformel ist dann auch a = 1. Die kleinste Quaderoberfläche bei gegebenem Volumen 1 ist ein Würfel.