Bestimme a so, dass g(x) in x=2 stetig ist

Question

wie rechne ich weiter? Danke

Aufgabe:

h(x) = ( 8a + 16x für  x < 2

              a² (x + 2) für   x ≥ 2

Bestimmen Sie a ∈ R so, dass g(x) in x = 2 stetig ist.

Ansatz:

lim _{x-> 2+ =}  a² (x + 2) = 4a²

lim _{x-> 2-  =} 8a+16x = 8a +32

und dann?

Answer 1

Beidseits von x=2 ist die Funktion sowieso stetig.

Daher einfach x=2 einsetzen und a bestimmen:

8a + 16*2 =               a² (2 + 2)    | :4

2a + 8 = a^2

0 = a^2 - 2a - 8   quadratische Gleichung lösen. Formel oder faktorisieren.

0 = (a-4)(a+2) 

=> a1 = 4 und a2 = -2

Kontrolliere die Rechnung und dann das Resultat (beide Varianten) in einem Plotter. 

Fall a=4: Beide Teile liegen aufeinander

~plot~ 0.01(4^2*2 + 16x) ;0.01(16 (x + 2)) ;x=2 ~plot~

und 

Fall a=-2: Der Graph hat bei x=2 eine (stetige) Knickstelle. Überleg dir selbst, auf welcher Seite von x=2 welcher Strahl zur Funktion gehört. 

~plot~ 0.01(-16 + 16x) ;0.01((-2)^2 (x + 2)) ;x=2 ~plot~