Partielle Ableitung, Extremwerte bestimmen und klassifizieren

Question

Ich hoff mir kann jemand weiterhelfen.

Aufgabe:

Gegebene Fkt. :  f(x,y) = x^3+y^3-x^2+2y^2-5x+y+3

a) Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von f(x,y)

f x = 3x^2-2x-5                   f xx = 6x-2                    f xy = 0

f y = 3y^2+4y+1                f yy = 6y+4                  f yx = 0

soweit eigentlich keine Probleme.

b) Bestimmen Sie alle Punkte in der x-y-Ebene, die als Extremwerte in Frage kommen (rechnen Sie mir Brüchen)

nun bin ich wie folgt vorgegangen:

f x = 0 und dann in pq-Formel eingesetzt, erhalten habe ich X1 = 5/3 , X2 = -1

f y = 0 und dann in pq-Formel eingesetzt, erhalten habe ich Y1 = -1 , Y2 = -1/3

daraus ergeben sich die Punkte: P1(5/3,-1) und P2(-1,-1/3)

bin ich soweit richtig ? (laut Hinweis gibt es aber 4 Lösungen, wie kommen die anderen beiden Lösungen zustande ?)

c) Klassifizieren Sie die in b) bestimmten Punkte (Hochpunkt, Tiefpunkt, Sattelpunkt)

dort weiss ich nun wirklich nicht mehr weiter ....

wäre dankbar für jede Hilfe...

Answer 1

f x = 0 und dann in pq-Formel eingesetzt, erhalten habe ich X1 = 5/3 , X2 = -1

f y = 0 und dann in pq-Formel eingesetzt, erhalten habe ich Y1 = -1 , Y2 = -1/3

daraus ergeben sich die Punkte: P1(5/3,-1) und P2(-1,-1/3)

bin ich soweit richtig ? (laut Hinweis gibt es aber 4 Lösungen, wie kommen
die anderen beiden Lösungen zustande ?)

Du kannst alle Stellen miteinander verknüpfen also auch
( 5/3 | -1/3 ) ( -1 | -1 )

Comments

Danke für die rasche Antwort.Aber weshalb verknüpft man diese nochmal miteinander ?

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2.Ableitungen
f xx = 6x-2  
f yy = 6y+4

P1 ( 5/3 |  -1 )
f xx ( 5/3 ) = 10 - 2 = 8  ( Tiefpunkt )
f yy ( -1 ) = -2 ( Hochpunkt )

Muß ich mir im Plot einmal anschauen.

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Ich kann Ihren Rechenschritt leider nicht ganz nachvollziehen...

könnten Sie vielleicht nochmal versuchen es mir zu verdeutlichen warum Sie jetzt Punkt 1 nehmen und ihn, in f xx und f yy einsetzen ?

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Hier erst einmal ein 3D-Plot.

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Vorbemerkung : hier im Forum wird üblicherweise das " du " verwendet.

Eigentlich geht man genauso vor wie bei einer normalen Kurvendiskussion.

f ( x ) : Berg und Talfahrt einer Funktion
f ´( x ) = 0 : Stellen mit waagerechte Tangente
f ´´ ( x ) : Krümmung

Die x-Stelle der 1.Ableitung = 0 in die 2.Ableitung eingesetzt gibt Auskunft
darüber ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.

 f ( x,y ) = x³+y³-x²+2y²-5x+y+3
f x = 3x²-2x-5                  
3x²-2x-5  = 0
x = 5/3 ( ich habe deinen Wert ohne Nachprüfung jetzt einfach übernommen )                  
2.Ableitung
f xx = 6x-2  
f xx ( 5/3) = 8 ( Tiefpunkt )

Ein Extrempunkt einer Funktion mit 2 Variablen entspricht einem Gipfel
bei dem in beide Richtungen die Steigung 0 ist.
Also dieselben Berechnungen  in y-Richtung durchgeführt.

Du hast herausbekommen
X1 = 5/3 , X2 = -1
Y1 = -1 , Y2 = -1/3

Bei x1 = 5/ 3 ist die Steigung in x-Richtung 0
Bei y1 = -1 ist die Steigung in y-Richtung 0

Bei ( 5/3 | -1 ) ist die Steigung in beide Richtungen 0.
Insgesamt ergeben sich 4 Punkte für die dies zutrifft.

Ich habe immer folgendes Bild vor Augen. Die Alpen.
Von oben betrachtet hat ein bestimmtes Gebiet eine Ausdehnung
/ Grundfläche in x und y Richtung.
Der Funktionswert ( x,y ) an einer Stelle entspricht einer Höhe.
Zu sehen sind Gipfel und Mulden.
Die Steigung ist bei Gipfeln und Mulden in beiden Richtungen 0.

Soviel zunächst.

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Der 3d-Plot zeigt

( 5/3 | -1)  ( Tiefpunkt in x Richtung / Hochpunkt in y-Richtung )
( 5/3 | -1/3 ) ( Tiefpunkt / Tiefpunkt )
( -1 | -1 )  (  Hochpunkt / Hochpunkt )
( -1 | -1/3 ) ( Hochpunkt / Tiefpunkt )

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OK, mir ist klar geworden weshalb ich jetzt 4 Punkte habe.Aber wie unterscheide ich jetzt welcher von diesen 4 Punkten ein Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt ist.Kann dies auch manchmal nicht entscheidbar sein?

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Auf dem 3D-Plot ist es sehr gut zu erkennen, aber wie kann ich das mathematisch darstellen bzw. wenn ich mal keinen 3D-Plot zur Hand habe ?

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Genau an dem Punkt bin ich jetzt auch.

Es wird wohl gelten

( Hochpunkt / Hochpunkt ) = Hochpunkt
( Tiefpunkt / Tiefpunkt ) = Tiefpunkt

Aber jetzt die Kombination H / T oder T / H

Da müssen wir wohl noch etwas recherchieren.

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Sattelpunkte jetzt einmal nicht betrachtet

Auf dem 3D-Plot ist es sehr gut zu erkennen, aber wie kann ich das
mathematisch darstellen bzw. wenn ich mal keinen 3D-Plot zur Hand habe ?

Es doch berechnet worden.

P1 ( 5/3 |  -1 )
f xx ( 5/3 ) = 10 - 2 = 8  ( Tiefpunkt )
f yy ( -1 ) = -2 ( Hochpunkt )

Bitte einmal mit ( 5/3 | -1/3 ) durchführen.
Müßte ja T / T herauskommen.
Kurz nachgerechnet : 6 * (-1/3 ) + 4 = 2 ( Tiefpunkt )
Stimmt also.

Die Berechnung ist also geklärt.

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Ich bin mir natürlich nicht sicher ob das alles richtig ist! Mit der Hesse Matrix könnte man es beweisen.

Siehe Bild, was hältst du davon ?

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Unglücklichsterweise kenne ich mich mit der Hesse Matrix nicht aus.

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Dies scheint in deine Richtung zu gehen

http://massmatics.de/merkzettel/index.php#!217:Globales_Extremum_-_mehrdimensionale_Funktion

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richtig. Ich bekomme damit genau die gleichen Werte, die du vorhin auch errechnet hast.

Es ist nur um einiges mehr Schreibaufwand -.- ...

Also vielen Dank nochmal *Daumen hoch*

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Schön das dir weitergeholfen werden konnte.
Falls du weitere / andere Fragen hast dann wieder einstellen.

Kurzfassung Lösungsweg
f ( x,y ) =
Partiell ableiten nach
f ´x
f ´y
Beides zu null setzen
Ergibt 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Also lösbar.
Die Art der Extremwerte kann durch einsetzen in
f  ´´ x
f  ´´ y
festgestellt werden.

Answer 2

für jeden der 4 erhaltenen stationären(kritischen) Punkte prüfst du durch Einsetzen:

f_xx • f_yy - f_xy²    > 0   →  Extrempunkt

                         < 0  →  Sattelpunkt

                         = 0     erfordert weitere Betrachtung

im Fall "Extremum" weiter:

fxx  < 0  →  Hochpunkt

       > 0  →  Tiefpunkt

       = 0   kann nicht vorkommen

Für die entsprechenden Punkte musst du natürlich noch die jeweiligen Funktionswerte f(x,y) ausrechnen.

Gruß Wolfgang