Partielle Ableitung 2. Ordnung (schwer)

Question

Aufgabe: Partielle Ableitung 2. Ordnung

f(x,y)=  sin(5*x²*y)

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          x+2*y

Von der oben genannten Funktion soll die 2. Partielle Ableitung fyy an der stelle (8;5) gestellt werden.

fyy(8;5)=

Problem/Ansatz:

Habe die Aufgabe gelöst bekomme aber entweder 0 raus oder eine minus zahl die nicht richtig ist bedanke mich im voraus

Answer 1

Aloha :)

Wir berechnen nur die partiellen Ableitungen nach $y$, also betrachten wir $x$ als eine konstante Zahl. Für die erste partielle Ableitung benötigen wir die Quotienten- und die Kettenregel.

$$f_y(x;y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\sin(5x^2y)}{x+2y}\right)=\frac{\cos(5x^2y)\cdot5x^2\cdot(x+2y)-\sin(5x^2y)\cdot2}{(x+2y)^2}$$$$\phantom{f_y(x;y)}=\frac{5x^2\cos(5x^2y)}{x+2y}-\frac{2\sin(5x^2y)}{(x+2y)^2}$$

Auch die zweite Ableitung braucht Quotienten- und Kettenregek.

$$f_{yy}(x;y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{5x^2\cos(5x^2y)}{x+2y}-\frac{2\sin(5x^2y)}{(x+2y)^2}\right)$$$$\phantom{f_{yy}(x;y)}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{5x^2\cos(5x^2y)}{x+2y}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{2\sin(5x^2y)}{(x+2y)^2}\right)$$$$\phantom{f_{yy}(x;y)}=\frac{-5x^2\sin(5x^2y)\cdot5x^2\cdot(x+2y)-5x^2\cos(5x^2y)\cdot2}{(x+2y)^2}$$$$\phantom{f_{yy}(x;y)}-\frac{2\cos(5x^2y)\cdot5x^2\cdot(x+2y)^2-2\sin(5x^2y)\cdot2(x+2y)\cdot2}{(x+2y)^4}$$$$\phantom{f_{yy}(x;y)}=\frac{-25x^4\sin(5x^2y)}{x+2y}-\frac{10x^2\cos(5x^2y)}{(x+2y)^2}-\frac{10x^2\cos(5x^2y)}{(x+2y)^2}+\frac{8\sin(5x^2y)}{(x+2y)^3}$$$$\phantom{f_{yy}(x;y)}=\frac{-25x^4\sin(5x^2y)}{x+2y}-\frac{20x^2\cos(5x^2y)}{(x+2y)^2}+\frac{8\sin(5x^2y)}{(x+2y)^3}$$

An der Stelle $(x;y)=(8;5)$ liefert mein Taschenrechner:$$f_{yy}(8,5)=4.560,441615$$Achtung: WolframAlpha liefert den falschen Wert: $-1942,00175807$.

Comments

das Ergebnis scheint falsch zu sein könnten sie evt nochmal drüber schauen?

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Tut mir leid, ich habe nochmal nachgerechnet und finde keinen Fehler. Sicherheitshalber habe ich das Ergebnis mit Wolfram-Alpha geprüft:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdy%28d%2Fdy%28sin%285x%5E2…

Das dort angegebene Resultat ist dasselbe wie meins.

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Ja die Brüche sind auch richtig gestellt aber bei beiden Brüchen kommen ohne die Vorzeichen zu betrachten - minus zahlen raus und da deren Vorzeichen auch minus ist kommen bei beiden Brüchen positive zahlen raus somit werden die Brüche Addiert

Und man bekommt

Für

f (8,5) ungefähr 4560.442 raus

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Stimmt, die Ableitungen stimmen. Irgendwie ist mir beim Eintippen in den Rechner was daneben gegangen. Ich habe das jetzt nochmal ausführlich gerechnet, ohne mich auf WolframAlpha zu verlssen und erhalte$$f_{yy}(8,5)=4.560,441615$$Ich korrigiere das auch noch oben in der Antwort, damit dort nichts Falsche stehen bleibt.

Das ist schon ärgerlich. Da rechnet man die Ableitungen alle detailliert aus und beim Einsetzen der Werte verlässt man sich auf ein CAS und schon knallt es...

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Ich danke nochmals für die ausführliche Erklärung. Der Rechenweg an sich war mir wichtig um es zu verstehen Tippfehler passieren.

Answer 2

Vergiss erst mal die konkrete Stelle und leite zweimal nach y ab.

Beim ersten mal brauchst du nur die Quotientenregel und die Kettenregel, beim zweiten mal zusätzlich noch die Produktregel, weil einer der Summanden im Zähler inzwischen ein Produkt ist.

Zeige mal deine erste Ableitung.