Aloha :)
Wir berechnen nur die partiellen Ableitungen nach \(y\), also betrachten wir \(x\) als eine konstante Zahl. Für die erste partielle Ableitung benötigen wir die Quotienten- und die Kettenregel.
$$f_y(x;y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\sin(5x^2y)}{x+2y}\right)=\frac{\cos(5x^2y)\cdot5x^2\cdot(x+2y)-\sin(5x^2y)\cdot2}{(x+2y)^2}$$$$\phantom{f_y(x;y)}=\frac{5x^2\cos(5x^2y)}{x+2y}-\frac{2\sin(5x^2y)}{(x+2y)^2}$$
Auch die zweite Ableitung braucht Quotienten- und Kettenregek.
$$f_{yy}(x;y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{5x^2\cos(5x^2y)}{x+2y}-\frac{2\sin(5x^2y)}{(x+2y)^2}\right)$$$$\phantom{f_{yy}(x;y)}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{5x^2\cos(5x^2y)}{x+2y}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{2\sin(5x^2y)}{(x+2y)^2}\right)$$$$\phantom{f_{yy}(x;y)}=\frac{-5x^2\sin(5x^2y)\cdot5x^2\cdot(x+2y)-5x^2\cos(5x^2y)\cdot2}{(x+2y)^2}$$$$\phantom{f_{yy}(x;y)}-\frac{2\cos(5x^2y)\cdot5x^2\cdot(x+2y)^2-2\sin(5x^2y)\cdot2(x+2y)\cdot2}{(x+2y)^4}$$$$\phantom{f_{yy}(x;y)}=\frac{-25x^4\sin(5x^2y)}{x+2y}-\frac{10x^2\cos(5x^2y)}{(x+2y)^2}-\frac{10x^2\cos(5x^2y)}{(x+2y)^2}+\frac{8\sin(5x^2y)}{(x+2y)^3}$$$$\phantom{f_{yy}(x;y)}=\frac{-25x^4\sin(5x^2y)}{x+2y}-\frac{20x^2\cos(5x^2y)}{(x+2y)^2}+\frac{8\sin(5x^2y)}{(x+2y)^3}$$
An der Stelle \((x;y)=(8;5)\) liefert mein Taschenrechner:$$f_{yy}(8,5)=4.560,441615$$Achtung: WolframAlpha liefert den falschen Wert: \(-1942,00175807\).
