Funktion Flächenstück berechnen

Question

folgendes Bsp:

f(x)= -x³ + x


Meine Frage: Ich muss die schwarze Schrift berechnen, das sieht folgender Maßen aus;


A1= 2* ₀∫¹ (-x³ +x) dx =  ..... = 0,5 FE

Verstehe ich weil ja -1;0 sowie 0;1 gleich lang sind daher mal 2, allerdings könnte ich es auch so ausrechnen indem ich zuerst; A1= ₀∫¹ (-x³ +x) dann, A2= _-1∫⁰ (-x³ +x) dann beide Ergebnisse addiere? Geht das? Ich glaub nicht oder, weil sich ja die Fläche dann aufhebt weil ja der linke Teil negativ und der rechte positiv ist.. ?


Ok nun meine zweite Frage wie würde es ausschauen wenn ich den roten Teil berechnen muss? wie gehe ich da voran? falls es geht würde ich es ja so machen, vermute aber das es falsch ist; A1= ₀∫¹ (-x³ +x) =...

A2=  _-2∫⁰ (-x³ +x) = .... dann A= A1+ A2 = ..FE

Answer 1

Es geht sicher um die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse. Diese ist berechnet sich negativ, wenn sie unter der x-Achse liegt. Deshalb hast du recht. Wenn du die Flächenstücke einzeln berechnest und die Ergebnisse addierst, kommt 0 heraus. Wenn du die Fläche zwischen der roten Kurve und der x-Achse bestimmen willst, musst du zunächst einmal die Nullstellen der roten Kurve kennen. Sagen wir, die sind 0 und -2. Dann wird das Integral in den Grenzen von -2 bis 0 berechnet. Das Ergebnis wird negativ. Flächeninhalte sind grundsätzlich positiv. Also ist die Fläche der Betrag des Ergebnisses der Integralrechnung.

Answer 2

Du Kannst die Flächen auch einzeln berechnen

A1 = ∫ (0 bis 1) f(x) dx = ...

A2 = ∫ (-1 bis 0) f(x) dx = ...

Bis auf das Vorzeichen sollten sich die Werte nicht unterscheiden.

Willst du jetzt die gesamte Fläche haben addierst du einfach die Beträge von A1 und A2.

A = |A1| + |A2|

Der rote Graph sollte ja eine andere Funktionsgleichung haben. Das musst du natürlich auch berücksichtigen. Wie lautet dort die genaue Fragestellung. Man könnte eventuell nehmen

g(x) = a·x·(x - 2)·(x + 2) = a·x^3 - 4·a·x

Comments

Aso, verstehe, also kann man es doch so berechnen was ich beachten muss ist das die Fläche immer positiv sein muss also immer bei A =| A1| + |A2| =... die Betragsstriche nicht vergessen.

Das zweite Beispiel mit -2 hab ich mir ausgedacht weil ich mir unsicher war ob man es einzeln ausrechnen kann.. also könnte da auch wahrscheinlich es einzeln ausrechnen (mit deiner funktion) also zuerst A1 = ∫ (0 bis 1) f(x) dx
A2 = ∫ (-2 bis 0) f(x) dx , dann wie oben schon erwähnt A =| A1| + |A2| =... , habe ich es Richtig verstanden? :)

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Ja. Allerdings

A1 = ∫ (0 bis 2) f(x) dx 

Es sei denn du möchtest nur den linken ast ändern. meine Funktion hätte die Nullstellen bei -2, 0 und 2 gehabt.

Answer 3

Du mußt unterscheiden zwischen
- Integral von.. bis
und
- Fläche von..bis

Bei Integral von..bis heißt es ganz einfach
∫ f ( x ) dx zwischen a und e
oder
F ( e ) - F ( a )

F ist die Stammfunktion

Bei Fläche zwischen von..bis heißt es die Flächen
unterhalb und oberhalb der x-Achse getrennt zu berechnen.

- Nullstellen der Funktion berechnen.
- dann von a bis zur 1.Nullstelle berechnen
- dann von der ersten Nullstelle bis zur zweiten
- usw
- bis letzte Nullstelle bis e

Alle Werte sind absolut zu setzen und aufzusummieren.

Beispiel die sin-Funktion zwischen 0 und 2*π
- das Integral ist 0
- Bei den Flächen miuß berechnet werden
( 0 bis π ) und ( π bis 2 * π )

~plot~ sin ( x ) ; [[ 0 | 2 * pi | -1.5 | 1.5 ]] ~plot~

Bei Bedarf weiter fragen.