Extremwertaufgabe: Wie hoch bzw. wie breit ist ein Fach, wenn das Volumen maximal wird?

Question

Vorhanden sind 2 mal 3 Meter lange Bretter, aus denen man ein Regal bauen soll ohne Vorder- und Rückseite. Das Regal soll 5 gleich große Fächer besitzen. Die Tiefe ist 30 cm. Die Höhe ist 5 mal H. Wir haben eine Skizze gemacht, wo H nur ein Teil der Gesamtlänge betrug deswegen 5*h als Erklärung.

Wie hoch bzw. wie breit ist ein Fach, wenn das Volumen maximal wird?

Jetzt weiß ich nicht weiter, außer vielleicht, dass man erst V= a*b*c bzw. V=30*x*5h und bei der Nebenbedingung bin ich nicht sicher, ich glaube Fläche also 6*x*30cm+2*5*h*30c= 600cm

Answer 1

Volumen eines Faches    x*h*30
ganzes Regal   V = 5* x*h*30 = 150 * x *h

Materialverbrauch: 6 Bretter 30*x   und 2 Bretter 30*5h = 150h
zusammen 180*x + 300h = 60000 cm^2
also     h = 200 - 0,6*x

bei V  = 150 * x *h  eingesetzt gibt

v(x) = 150 x * ( 200 - 0,6*x )  =  30000 x   -   90 x^2 

v ' (x) = 30000 - 180x
v ' (x) =0     für x =  500/3 
Also Regalbreite 500/3 cm = 167cm und Höhe jedes Faches
h = 200 - 0,6* 500/3 = 100cm.