Extremwertaufgabe: Quadratische Pyramide aus vier vorgegebenen Stäben mit maximalen Volumen

Question

Aus vier vorgegebenen stäben gleicher Länge(a=12cm) soll eine gerade pyramide mit quadratischer grundfläche gebildet werden, die möglichst großes volumen hat ... ? :)
danke :)

Comments

Was sollst du denn berechnen?

Und wie sollen die Stäbe angeordnet werden? Bilden die Stäbe die Kanten, die zur Spitze hin verlaufen?

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Ich muss ein möglichst großes Volumen haben .

die Aufgabe wird nicht näher beschrieben ...

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Da muss doch aber stehen, was du berechnen sollst. Vielleicht die Länge der Grundfläche?

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Ne steht leider nichts zu ... Aber ich vermute auch das die Stäbe die Kanten die zur Spitze verlaufen beschreiben soll ...

Answer 1

Hi,

das Volumen ist abhängig von Seite und Höhe.

Hauptbedingung: \(V=\frac13a^2\cdot h\)

Nebenbedingung: \(h^2 = 12^2-(a\cdot\frac{\sqrt2}{2})^2 -> h^2 = 144-\frac{a^2}{2}\)

h einsetzen in die Hauptbedingung:

$$V = \frac13(288-2h^2)h = 96h-\frac23h^3$$

$$V' = 96-2h^2 = 0$$

$$h_1 = -4\sqrt3 \ \text{und}\ h_2=4\sqrt3$$

Damit ist die gesuchte Höhe \(h = 4\sqrt3\ \text{cm}\) mit dem maximalen Volumen von \(V = 443,41\ \text{cm}^3\).

Grüße

Comments

Aber die 12 cm Länge der Stäbe kommt in den Rechnungen nicht vor ....!?

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Oh sry, die vier Stangen hatten mich so vereinnahmt, dass ich das gesamte mit 4 gerechnet hatte^^.

Ich ändere es mal.

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@Unknown: Kann es sein, dass du mit einer Stablänge von 4 cm gerechnet hast?

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Es sollte nun passen ;).

Answer 2

Wenn a die Länge der Grundfläche ist, ist \(\frac{\sqrt{2}}{2}a\) die halbe Diagonale.

Laut Satz des Pythagoras ist dann: \(12^2=h^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2\)   (Nebenbedingung)

Die Hauptbedingung ist: \(V=\frac{1}{3}a^2h\)

Die Nebenbedingung nach a umstellen: \(144=h^2+\frac{a^2}{2}\Rightarrow a=\sqrt{288-2h^2}\)

In die Hauptbedingung einsetzen: \(V(h)=\frac{1}{3}(288-2h^2)h=-\frac{2}{3}h^3+96h\)

\(V'(h)=-2h^2+96=0 Rightarrow 2h^2=96 \Rightarrow h^2=48 \Rightarrow h=\pm 4\sqrt{3}\) (jedoch ist nur die positive Lösung sinnnvoll.)

Einsetzen in zweite Ableitung \(V''(h)=-4h, v''(4\sqrt{3})=-16\sqrt{3}<0 \), also Maximum.

Das maximale Volumen ist dann \(V(4\sqrt{3})=-\frac{2}{3}\left(4\sqrt{3}\right)^3+96\cdot 4\sqrt{3}=886,81 cm^3\)

Die Kantenlänge der Grundfläche ist \(a=\sqrt{288-2\left(4\sqrt{3}\right)^2}=8\sqrt{3}=13,86 cm.\)

Comments

Warum hast Du 886,81?

Prinzipiell haben wir den gleichen Rechenweg, ich habe aber genau die Hälfte von Dir? ;)

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Stimmt, da hab ich dann wohl auch einen Fehler gemacht beim Eintippen in den Taschenrechner.

Jedenfalls ist 443,41 cm^3 richtig.