Extremwertaufgabe Kugel in quadratische, vierseitige Pyramide

Question

Aufgabe:

In eine senkrechte quadratische vierseitige Pyramide mit der Höhe h=6m und der Kantenlänge a=6m soll eine Kugel mit maximalem Radius einbeschrieben werden.

Problem/Ansatz:

Ich gehe mal stark davon aus, dass wir diese Aufgabe als Extremwertaufgabe, also mit Hauptbedingung, Nebenbedingung, … lösen sollen.

Ich habe bereits um mein Ergebnis zu überprüfen eine Formel gefunden, welche den Wert 1,86m ausgibt, welcher sehr realistisch ist.

Aber zum eigentlichen Ansatz:

Ich habe als erstes aus der Pyramide und der Kugel ein Dreieck und einen Kreis gemacht, da dies ja im Endeffekt das Selbe darstellt.

Meine Hauptbedingung ist folgend des maximalen Radiusses der Kugel (jetzt für den Kreis) r= wurzel(A)/wurzel(pi).

Meine Nebenbedingung ist der Flächeninhalt der Pyramide: A= 1/2c*h (c=6; h=6)

So rechne ich das A aus und setze dies in die Formel der Hauptbedingung ein. Das Ergebnis lautet 2,4m.

Abgesehen davon, dass das Ergebnis nicht mit meinem durch die Formel gefundenen realistischeren Wert übereinstimmt, spüre ich, dass ich hier stark etwas falsch gemacht habe.

Ich würde mich auf eure Antworten freuen.

LG

Answer 1

Hallo,

du könntest auch den Mittelpunkt = Mittelpunkt des Inkreises deines Querschnittsdreiecks bestimmen.

Gruß, Silvia

Comments

Sehr gute Idee, aber es soll schon als Extremwertaufgabe gelöst werden.

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Sehr gute Idee, aber es soll schon als Extremwertaufgabe gelöst werden.

sicher?

eine Extremwertaufgabe setzt eine oder mehrere Variablen voraus, von denen der zu optimierenden Wert abhängt. Es gibt aber nur genau eine Kugel mit genau einem Radius, die in die Pyramide so hinein passt, dass die Kugel in die Pyramide 'einbeschrieben' ist. D.h. dass die Kugel alle 5 Flächen der Pyramide berührt.

Der Kugelradius \(r\) ist dann$$r = \frac{a(2s-a)}{4h} \quad s=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2}$$(siehe Halbwinkelformeln von \(\tan(x/2)\))

Meine Hauptbedingung ist folgend des maximalen Radiusses der Kugel (jetzt für den Kreis) r= wurzel(A)/wurzel(pi).
Meine Nebenbedingung ist der Flächeninhalt der Pyramide: A= 1/2c*h (c=6; h=6)

selbst wenn obiges Sinn machen würde, ist es noch keine Extremwertaufgabe, weil der Radius von keiner Variablen abhängig ist.

Btw.: schon eine Skizze gemacht?

$$a=h=6 \implies r=\frac{3}{2}(\sqrt{5}-1)$$