Extremwertaufgabe: Quader mit V=1000cm^3 soll eine minimale Oberfläche haben.

Question 1

Hi!
Vertstehe nicht wie ich das machen soll ...
Welche Maße muss ein quaderförmiger Kasten mit quadratischer Grundfläche und dem Volumen 1000cm³ haben, wenn die Größe der Oberfläche minimal sein soll?

Question 2

Hauptbedingung: $A_O=2a^2+4ah$ (a ist die Seitenlänge der Grundfläche, h ist die Höhe)

Nebenbedingung: $a^2\cdot h=1000 \Rightarrow h=\frac{1000}{a^2}$ Einsetzen in Hauptbedingung

$A_O(a)=2a^2+\frac{4000}{a}$

Davon das Minimum berechnen:

$A_O'(a)=4a-\frac{4000}{a^2}, A_O''(a)=4+\frac{8000}{a^3}$

$A_O'(a)=4a-\frac{4000}{a^2}=0\Rightarrow 4a^3-4000=0 \Rightarrow a=10$

Einsetzen in zweite Ableitung: $A_O''(10)=12>0$, also Minimum.

Die Länge der Grundfläche ist also 10cm, die Höhe ist dann 1000/10^2=10cm. Also ist der Quader ein Würfel.

Allgemein hat von allen Quadern mit gleichem Volumen der Würfel die kleinste Oberfläche.

Question 3

danke euch drei :)
die letzte ist nach unserem schema aufgeschrieben worden deshalb hat sie mir den besten überblick geschaffen trzdm danke an alle :)

Question 4

warum kommt bei der ersten ableitung minus anstatt plus ?

Question 5

$$\frac{4000}{a}=4000a^{-1}$$ Mit der Potenzregel erhält man dann als Ableitung $(-1)\cdot 4000a^{-2}=-\frac{4000}{a^2}$

Question 6

hallo schaue mir gerade die gleiche aufgabe an und verstehe nicht wie ihr auf 4a- 4000/a^2 auf --> 4+ 8000/a^2 kommt? LG

Question 7

V = a * a * b = 1000
b = 1000/a^2

O = 2·a^2 + 4·a·b
O = 2·a^2 + 4·a·1000/a^2
O = 2·a^2 + 4000/a
O' = 4·a - 4000/a^2 = 0
4·a^3 - 4000 = 0
4·a^3 = 4000
a^3 = 1000
a = 10

b = 1000/100 = 10

Damit sind a und b = 10 cm und der Quader ist ein Würfel.

Question 8

Ich arbeite gerade an genau dieser Aufgabe und bin im Zuge dessen auf diese Frage gestoßen. Kann mir mal bitte jemand erklären, wie er hier von 4•a-4000/a²=0 auf 4•a³ - 4000 = 0 kommt?

Wäre nett :)

Question 9

Die Gleichung mit a^2 multiplizieren

Question 10

Ok, danke :) Krass, habe es jetzt verstanden. Super!

Question 11

Ich glaub ich sollte so langsam zu Bett gehen :-)

Gast · Answer 1 · 2013-10-01T21:11:09+0000

Hauptbedingung: $A_O=2a^2+4ah$ (a ist die Seitenlänge der Grundfläche, h ist die Höhe)

Nebenbedingung: $a^2\cdot h=1000 \Rightarrow h=\frac{1000}{a^2}$ Einsetzen in Hauptbedingung

$A_O(a)=2a^2+\frac{4000}{a}$

Davon das Minimum berechnen:

$A_O'(a)=4a-\frac{4000}{a^2}, A_O''(a)=4+\frac{8000}{a^3}$

$A_O'(a)=4a-\frac{4000}{a^2}=0\Rightarrow 4a^3-4000=0 \Rightarrow a=10$

Einsetzen in zweite Ableitung: $A_O''(10)=12>0$, also Minimum.

Die Länge der Grundfläche ist also 10cm, die Höhe ist dann 1000/10^2=10cm. Also ist der Quader ein Würfel.

Allgemein hat von allen Quadern mit gleichem Volumen der Würfel die kleinste Oberfläche.

danke euch drei :)
die letzte ist nach unserem schema aufgeschrieben worden deshalb hat sie mir den besten überblick geschaffen trzdm danke an alle :) — Fero, 1 Okt 2013
$$\frac{4000}{a}=4000a^{-1}$$ Mit der Potenzregel erhält man dann als Ableitung $(-1)\cdot 4000a^{-2}=-\frac{4000}{a^2}$ — Gast, 1 Okt 2013
hallo schaue mir gerade die gleiche aufgabe an und verstehe nicht wie ihr auf 4a- 4000/a^2 auf --> 4+ 8000/a^2 kommt? LG — Gast, 11 Jun 2015

Extremwertaufgabe: Quader mit V=1000cm^3 soll eine minimale Oberfläche haben.

3 Antworten

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