Extremwertaufgabe: Quader mit V=1000cm^3 soll eine minimale Oberfläche haben.

Question

Hi! 
Vertstehe nicht wie ich das machen soll ... 
Welche Maße muss ein quaderförmiger Kasten mit quadratischer Grundfläche und dem Volumen 1000cm³ haben, wenn die Größe der Oberfläche minimal sein soll? 

Answer 1

Hauptbedingung: \(A_O=2a^2+4ah\) (a ist die Seitenlänge der Grundfläche, h ist die Höhe)

Nebenbedingung: \(a^2\cdot h=1000 \Rightarrow h=\frac{1000}{a^2}\)   Einsetzen in Hauptbedingung

\(A_O(a)=2a^2+\frac{4000}{a}\)

Davon das Minimum berechnen:

\(A_O'(a)=4a-\frac{4000}{a^2}, A_O''(a)=4+\frac{8000}{a^3}\)

\(A_O'(a)=4a-\frac{4000}{a^2}=0\Rightarrow 4a^3-4000=0 \Rightarrow a=10\)

Einsetzen in zweite Ableitung: \(A_O''(10)=12>0\), also Minimum.

Die Länge der Grundfläche ist also 10cm, die Höhe ist dann 1000/10^2=10cm. Also ist der Quader ein Würfel.


Allgemein hat von allen Quadern mit gleichem Volumen der Würfel die kleinste Oberfläche.

Comments

danke euch drei :)
die letzte ist nach unserem schema aufgeschrieben worden deshalb hat sie mir den besten überblick geschaffen trzdm danke an alle :)

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warum kommt bei der ersten ableitung minus anstatt plus ?

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$$\frac{4000}{a}=4000a^{-1}$$ Mit der Potenzregel erhält man dann als Ableitung \((-1)\cdot 4000a^{-2}=-\frac{4000}{a^2}\)

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hallo schaue mir gerade die gleiche aufgabe an und verstehe nicht wie ihr auf 4a- 4000/a^2 auf --> 4+ 8000/a^2 kommt?LG

Answer 2

V = a * a * b = 1000
b = 1000/a^2

O = 2·a^2 + 4·a·b
O = 2·a^2 + 4·a·1000/a^2
O = 2·a^2 + 4000/a
O' = 4·a - 4000/a^2 = 0
4·a^3 - 4000 = 0
4·a^3 = 4000
a^3 = 1000
a = 10

b = 1000/100 = 10

Damit sind a und b = 10 cm und der Quader ist ein Würfel.

Comments

 Ich arbeite gerade an genau dieser Aufgabe und bin im Zuge dessen auf diese Frage gestoßen. Kann mir mal bitte jemand erklären, wie er hier von 4•a-4000/a²=0 auf 4•a³ - 4000 = 0 kommt?

Wäre nett :)

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Die Gleichung mit a^2 multiplizieren

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Ok, danke :) Krass, habe es jetzt verstanden. Super!

Answer 3

Ich glaub ich sollte so langsam zu Bett gehen :-)