Dose mit 1000cm^3 Inhalt optimieren. Materialverbrauch minimieren.

Question

Aufgabe:

Die Firma TIN-PAK stellt seit 20 Jahren Konservendosen mit 1 Liter \( \left(1000 \mathrm{~cm}^{3}\right) \) Inhalt her.

Die monatliche Produktionsmenge beträgt 8 Millionen Dosen.

Die Höhe einer Dose beträgt \( 16 \mathrm{~cm} \).

Die Dosen werden aus Weißblech hergestellt. Der Preis für ein \( \mathrm{m}^{2} \) Weißblech liegt bei 2,40 €.

Durch verstärkte Konkurrenz wächst der Kostendruck auf die Firma TIN-PAK. Es wird daher überlegt; ob sich Materialkosten einsparen lassen, wenn man die Maße der Dose verändert.

Sie werden mit diesen Überlegungen beauftragt. Als Prämie werden Ihnen \( 20 \% \) der eingesparten Materialkosten im ersten Produktionsjahr in Aussicht gestellt.

Ansatz/Problem:

Welche Haupt und Nebenbedingung gibt es bei dieser Extremwertaufgabe?

Answer 1

V = r^2 * π * h = 1000 cm^3
h = 1000 / ( π * r^2 )

A = Dosenboden * 2 + Umfang * Höhe
A = r^2 * π * 2 + 2 * r * π * h
A = r^2 * π * 2 + 2 * r * π * 1000 / ( π * r^2 )
A = r^2 * π * 2 + 2000 / r

1.Ableitung
A ´( r ) = A = 2 * r * π * 2 - 2000 / r^2
A ´( r ) = A = 4 * r * π  - 2000 / r^2

Extremwert ( minimal )
4 * r * π  - 2000 / r^2  = 0
4 * r * π  = 2000 / r^2 
4 * r^3 * π = 2000
r^3 = 2000 / ( 4 * π )
r = ( 159.155 )^{1/3}
r = 5.42 cm

V = r^2 * π * h = 1000
V = 5.42^2 * π * h = 1000
h = 10.84 cm

A = r^2 * π * 2 + 2 * r * π * h
A = 5.42^2 * π * 2 + 2 * 5.42 * π * 10.84
A = 184.58 + 369.15
A = 553.73

Bisher
h = 16 cm
V = r^2 * π * 16 = 1000 cm^3
r = 4.46 cm
A = 4.46^2 * π * 2 + 2 * 4.46 * π * 16
A = 124.98 + 448.37
A = 573.35

573.35 / 100 = 553.73 / x
x = 0.9658  = 96.58 %
Ersparnis 3.42 %

Jahreskosten bisher : 8 000 000 * 12 * 573.35 * 10^{-4} m^2 * 2.40 € / m^2
13 209 984 € / Jahr

Ersparnis : 13 209 984 € * 0.0342 * 0.2 = 90 356,29 €

Das wäre ziemlich viel für den Arbeitsaufwand dieser Berechnung.
Das würde ich direkt annehmen.

Alle Angaben ohne Gewähr

mfg Georg

Comments

573.35 / 100 = 553.73 / x 
x = 0.9658  = 96.58 % 
Ersparnis 3.42 %

Wie kommst du darauf? Also auf x=0,9658 ich hab grad wohl voll ein Blackout....

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573.35 cm^2 ist der ursprüngliche Materialverbrauch und sind 100 %
553.73 cm^2 wäre das reduzierte Material sind x %
weiter Berechnung siehe oben.

Du kannst auch direkt
553.73 / 573.35 = 0.9658 rechnen.

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Ahhhhhh  Merci :)

Answer 2

Nebenbedingung

Volumen V = 1000 cm³

Hauptbedingung 

Oberfläche O = minimal