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Sei B eine σ-Sesqilinearform
1. Symmetrische, Antisymmetrische und Alternierende Sesqilinearformen
Gegeben sei eine Sesqilinearform \( B: V \times V \rightarrow K \), und es sei \( D=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right) \) eine Basis von V. \( M_{D}(B) \) bezeichnet die Matrix, die die Sesqilinearform \( B \) in Bezug auf die Basis \( D \) repräsentiert.
- Eine
Sesqilinearform ist symmetrisch, wenn für alle \( v, w \in V \) gilt: \( B(v, w) = B(w, v) \).
- Eine
Sesqilinearform ist antisymmetrisch, wenn für alle \( v, w \in V \) gilt: \( B(v, w) = -B(w, v) \).
- Eine
Sesqilinearform ist alternierend, wenn für alle \( v \in V \) gilt: \( B(v, v) = 0 \).
Falls \( \sigma = id \), ist die Form
sesquilinear ohne zusätzliche Komplexität durch \( \sigma \).
Beweis der Beziehung zwischen B und \( M_D(B) \):
Für die Matrixdarstellung \( M_{D}(B) \) von \( B \) gelten die Einträge \( m_{ij} = B(v_i, v_j) \) für die Basis \( D \).
-
Symmetrie: Wenn \( B \) symmetrisch ist, dann \( B(v_i, v_j) = B(v_j, v_i) \) für alle \( i, j \), was bedeutet, dass \( m_{ij} = m_{ji} \). Also ist \( M_{D}(B) \) eine symmetrische Matrix. Umgekehrt, wenn \( M_{D}(B) \) symmetrisch ist, dann muss \( B \) symmetrisch sein, da die Gleichheit der Matrixeinträge direkt aus der Symmetrie der Sesqilinearform folgt.
-
Antisymmetrie: Für eine antisymmetrische Sesqilinearform gilt \( B(v_i, v_j) = -B(v_j, v_i) \), was in der Matrix \( M_D(B) \) durch \( m_{ij} = -m_{ji} \) widergespiegelt wird. Ist \( M_{D}(B) \) antisymmetrisch, spiegelt dies unmittelbar die Antisymmetrie von \( B \) wider.
-
Alternierend: Da jede alternierende Form auch antisymmetrisch ist (besonders unter der Bedingung \( char(K) \neq 2 \)), gilt für \( i = j \), dass \( B(v_i, v_i) = 0 \), was bedeutet, dass alle Diagonalelemente von \( M_D(B) \) null sind. Die Alternierendheit einer Sesqilinearform impliziert Antisymmetrie und umgekehrt unter der genannten Charakteristik des Körpers.
2. Antihermitesche Forms
Gegeben sei nun, dass \( \sigma^2 = id \), was bedeutet, dass \( \sigma \) ein Involution ist. Eine
sesqilinearform ist
antihermitesch, wenn für alle \( v, w \in V \) gilt \( B(v, w) = -\sigma(B(w, v)) \).
-
Antihermitesch: Die Matrix \( M_{D}(B) \) ist antihermitesch, wenn für alle \( i, j \) gilt: \( m_{ij} = -\sigma(m_{ji}) \). Dies bedeutet, dass die Einträge der Matrix und ihre komplex konjugierten Vorzeichen entgegengesetzt sind.
Demzufolge, wenn \( B \) antihermitesch ist, dann reflektiert \( M_{D}(B) \) diese Eigenschaft und umgekehrt. Beachten Sie, dass im Text ein Fehler vorliegt, indem antihermitesch (bzw. antihermitesch) als zwei unterschiedliche Eigenschaften aufgeführt werden, während es faktisch nur eine Eigenschaft beschreibt. Die korrekte Aussage wäre, Beziehungen für antihermitesch und eventuell hermitesch oder andere relevante Eigenschaften zu diskutieren.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Eigenschaften einer Sesqilinearform (symmetrisch, antisymmetrisch, alternierend oder antihermitesch) direkt in die Eigenschaften ihrer Matrixdarstellung \( M_D(B) \) übergehen, und umgekehrt, wenn bestimmte Bedingungen erfüllt sind (wie \( \sigma = id \) oder \( \sigma^2 = id \) für antihermitisch).
